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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 22

Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 19-22 com um erro de magnitude menor que 1 0 - 8

22. ∫ 0 1 1   -   c o s   x x 2 d x

Passo 1

E aí, galera! Preparados? Então, vamos partir para mais uma questão.

O raciocínio dessa questão é muito parecido com o das anteriores. Nós encontramos uma série de potências para o integrando, integramos e aplicamos o limite até encontrar um termo que seja menor que o erro, que nesse caso é 1 0 - 8 . Depois disso, somamos a contribuição de cada termo que é maior que 1 0 - 8 e arredondamos para a quinta casa decimal para comparar com a resposta do livro. Agora que temos a receita, vamos para os ingredientes.

Para obter uma série de potência para 1   -   c o s   x x 2 , vamos começar relembrando a série para o cosseno:

c o s x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! ,   | x | < ∞

Então, o termo 1 - c o s   x fica

1 - c o s x = 1 - 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅  

1 - c o s x = x 2 2 ! - x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   - ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora a gente divide tudo por x 2 para encontrar o integrando 1 - c o s   x x 2 :

1   -   c o s   x x 2 = 1 2 ! - x 2 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   - ( - 1 ) n x 2 n - 2 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Beleza, galera! Agora podemos fazer a integração:

∫ 0 1 1   -   c o s   x x 2 d x = ∫ 0 1 1 2 ! - x 2 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   - ( - 1 ) n x 2 n - 2 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ d x

∫ 0 1 1   -   c o s   x x 2 d x = x 2 ! - x 3 3 ⋅ 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   - ( - 1 ) n x 2 n - 1 ( 2 n - 1 ) ⋅ ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ 0 1

No próximo passo, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 3

Com o resultado da integral em mãos, podemos aplicar os limites para cada termo. Lembrando que a gente para quando chegar em um termo menor que 1 0 - 8 :

x 2 ! 0 1 = 1 2 = 0,5

- x 3 3 ⋅ 4 ! 0 1 = - ( 1 ) 3 72 ≈ - 0,013888889

x 4 4 ⋅ 5 ! 0 1 = ( 1 ) 4 480 ≈ 0,002083333

- x 5 5 ⋅ 6 ! 0 1 = - ( 1 ) 5 3600 ≈ - 0,000277778

x 6 6 ⋅ 7 ! 0 1 = ( 1 ) 6 30240 ≈ 0,000033069

- x 7 7 ⋅ 8 ! 0 1 = - ( 1 ) 7 282240 ≈ - 0,000003543

x 8 8 ⋅ 9 ! 0 1 = ( 1 ) 8 2903040 ≈ 0,000000344

- x 9 9 ⋅ 10 ! 0 1 = - ( 1 ) 9 32659200 ≈ - 0,000000031

x 10 10 ⋅ 11 ! 0 1 = ( 1 ) 10 399168000 ≈ 0,0000000025

Ufa! Essa foi demorada, hein? Mas calma que ainda temos que somar todos os termos acima:

Passo 4

Somando todas as contribuições, ficamos com

∫ 0 1 1 - c o s   x x 2 d x = 0,5 - 0,013888889 + 0,002083333 - 0,000277778 + 0,000033069

- 0,000003543 + 0,000000344 - 0,000000031 + 0,0000000025

∫ 0 1 1 - c o s   x x 2 d x = 0,4879465075

Arredondando para a quinta casa decimal, a gente fica com o seguinte resultado

∫ 0 1 1 - c o s   x x 2 d x = 0,48795

Por enquanto é só, até a próxima!

Resposta

0,48795

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