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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 26

Nos Exercícios 25-28, encontre o polinômio que irá aproximar F ( x ) ao longo do intervalo dado com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 .

26. F ( x ) = ∫ 0 x   t 2   e - t 2 d t ,   [ 0,1 ]

Passo 1

Fala, pessoal! Nessa questão, vamos seguir o seguinte roteiro: vamos usar a série s e n   t 2 para calcular a integral e aplicamos os limites de integração. Nesse momento, vamos ter um polinômio em x . Daí, vamos substituir x = 1 nos termos deste polinômio até encontrar um que tenha ordem menor que 1 0 - 3 . Esse vai ser o último termo do polinômio que queremos. Prontos? Então, bora lá!

Primeiro, temos que lembrar que a série da função exponencial é

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Então, trocando x por - t 2 , encontramos a série para e - t 2

e - t 2 = 1 - t 2 + ( - t 2 ) 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - t 2 ) n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

e - t 2 = 1 - t 2 + t 4 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 2 n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Por último, multiplicamos por t 2

t 2 e - t 2 = t 2 - t 4 + t 6 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 2 n + 2 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Muito bem! Agora vamos substituir essa série na integral e integrar

∫ 0 x t 2 e - t 2 d t = ∫ 0 x t 2 - t 4 + t 6 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 2 n + 2 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅ d t

∫ 0 x t 2 e - t 2 d t = t 3 3 - t 5 5 + t 7 7 ⋅ 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 2 n + 3 ( 2 n + 3 ) ⋅ n ! +   ⋅ ⋅ ⋅   0 x

∫ 0 x t 2 e - t 2 d t = x 3 3 - x 5 5 + x 7 7 ⋅ 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 3 ( 2 n   +   3 ) ⋅ n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Pronto, agora temos um polinômio de x mas só precisamos ir até o termo que tenha ordem menor que 1 0 - 3 . Se liga aí no próximo passo.

Passo 3

Vamos aplicar x = 1 para cada um dos termos do polinômio até encontrar um erro menor que 1 0 - 3

x 3 3 | x = 1 = 1 3 ≈ 0,3333

- x 5 5 | x = 1 = - 1 5 = - 0,2

x 7 7 ⋅ 2 ! | x = 1 = 1 14 ≈ 0,0714

- x 9 9 ⋅ 3 ! | x = 1 = - 1 54 ≈ 0,0185

x 11 11 ⋅ 5 ! | x = 1 = 1 1320 ≈ 0,0008

Como o quinto termo é menor que 1 0 - 3 , o polinômio do passo anterior só vai até o quinto termo. Assim, ficamos com

F ( x ) = ∫ 0 x t 2 e - t 2 d t = x 3 3 - x 5 5 + x 7 7 ⋅ 2 ! - x 9 9 ⋅ 3 ! + x 11 11 ⋅ 5 !

Gostou desta resolução? Espero que sim, hein? A gente se vê na próxima!

Resposta

F ( x ) = x 3 3 - x 5 5 + x 7 7 ⋅ 2 ! - x 9 9 ⋅ 3 ! + x 11 11 ⋅ 5 !

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