Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 57

Estimando Pi: Cerca de quantos termos da série de Taylor para t g - 1   x teriam de ser utilizados para avaliar cada termo do lado direito da equação

π   =   48   t g - 1 1 18 +   32   t g - 1 1 57 - 20   t g - 1 1 239

com um erro de magnitude menor que 1 0 - 6 ? Em contrapartida, a convergência de ∑ n = 1 ∞ ( 1 / n 2 ) a π 2 / 6 é tão lenta que nem mesmo 50 termos conseguirão nos dar a precisão de duas casas.

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem? Então, bora lá para mais uma questão? Bora!

O enunciado pede, basicamente, que a gente encontre quanto termos cada termo do lado direito da equação precisam ter com um erro de magnitude menor que 1 0 - 6 . Então, temos que expandir cada termo com uma série de potências, ver como é o termo geral de cada série e, com isso, encontrar o n onde a série pode parar.

Para começar, vamos expressar a série de t g - 1   x para 1 18 , 1 57 e 1 239 . A série de t g - 1   x é

  t g - 1   x = x - x 3 3 + x 5 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Então, trocando x por 1 18 , 1 57 e 1 239 , obtemos

48     t g - 1   1 18 =   48   18 - 48   3 1 18 3 + 1 5 1 18 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 48   2 n + 1 1 18 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

  32   t g - 1   1 57 = 32 57 - 32 3 1 57 3 + 32 5 1 57 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) m 32 2 m + 1 1 57 2 m + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

  20   t g - 1   20 239 = 20 239 - 20 3 1 239 3 + 20 5 1 239 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) l 20 2 l + 1 1 239 2 l + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Ou seja, o enésimo (“m-ésimo” e “l-ésimo”) termo de cada série acima vai ter a seguinte carinha:

( - 1 ) n 48 2 n + 1 1 18 2 n + 1

( - 1 ) m 32 2 m + 1 1 57 2 m + 1

( - 1 ) l 20 2 l + 1 1 239 2 l + 1

Passo 3

Prontinho, agora queremos que cada um desses termos seja menor que 1 0 - 6 . Então, para n , temos

| 48 ( - 1 ) n 48 2 n + 1 1 18 2 n + 1 | ≤ 1 0 - 6

⇒ 48 2 n + 1 1 18 2 n + 1 ≤ 1 0 - 6

⇒ 1 1 0 - 6 ≤ 1 48 ( 2 n + 1 ) ( 18 ) 2 n + 1

⇒ 100000 = 1 0 6 ≤ 1 48 ( 2 n + 1 ) ( 18 ) 2 n + 1

Agora, vamos substituir n , começando com n = 0 até que a equação acima seja satisfeita:

100000 = 1 0 6 > 1 48 ( 2 ⋅ 0 + 1 ) ( 18 ) 2 ⋅ 0 + 1 = 0,375

100000 = 1 0 6 > 1 48 ( 2 ⋅ 1 + 1 ) ( 18 ) 2 + 1 = 364,5

1000000 = 1 0 6 > 1 48 ( 2 ⋅ 2 + 1 ) ( 18 ) 2 ⋅ 2 + 1 = 118098

1000000 = 1 0 6 ≤ 1 48 ( 2 ⋅ 3 + 1 ) ( 18 ) 2 ⋅ 3 + 1 = 89282088

Então, paramos no quarto termo. Agora, vamos avaliar para os outros termos da soma. Para m :

( - 1 ) m 32 2 m + 1 1 57 2 m + 1 ≤ 1 0 - 6

⇒ 100000 = 1 0 6 ≤ 1 32 ( 2 m + 1 ) ( 57 ) 2 m + 1

100000 = 1 0 6 > 1 32 ( 2 ⋅ 0 + 1 ) ( 57 ) 2 ⋅ 0 + 1 = 1,781

100000 = 1 0 6 > 1 32 ( 2 ⋅ 1 + 1 ) ( 57 ) 2 ⋅ 1 + 1 = 17361,84

1000000 = 1 0 6 ≤ 1 32 ( 2 ⋅ 2 + 1 ) ( 57 ) 2 ⋅ 2 + 1 = 94014384

Para l :

| ( - 1 ) m 20 2 m + 1 1 239 2 l + 1 | ≤ 1 0 - 6

⇒ 100000 = 1 0 6 ≤ 1 20 ( 2 l + 1 ) ( 239 ) 2 l + 1

100000 = 1 0 6 > 1 20 ( 2 ⋅ 0 + 1 ) ( 239 ) 2 ⋅ 0 + 1 = 11,95

100000 = 1 0 6 > 1 20 ( 2 ⋅ 1 + 1 ) ( 239 ) 2 ⋅ 1 + 1 = 2047788

Então, o segundo e o terceiro termo do lado direito da equação param no terceiro e segundo termos das suas séries, respectivamente. Mas, como o primeiro termo precisa de quatro termos da série para ter um erro menor que 1 0 - 6 , então o que conta são esses quatro termos.

Resposta

4 termos

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela. f x = e - x sen ⁡ x , a = 0
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin para as funções e x sen ⁡ x .
Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin para as funções ln ⁡ ( 1 + x ) 1 - x
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.12. f x = x e x