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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 135

Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada de y e, relação à variável apropriada.

y = 2 x 2 + 1 cos ⁡ 2 x

Passo 1

A ideia de fazer a derivada logarítimica é lembrar essa parada de derivar logaritmo:

ln ⁡ f x ' = f ' x f x

Isso é consequência da regra da cadeia, então basicamente o que fazemos é, tascar ln na equação, derivar implicitamente e usar essa propriedade.

Derivar implicitamente é só colocar o y ' quando derivarmos qualquer coisa de y

Vamso la?

Passo 2

Aplicando ln

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 x 2 + 1 cos ⁡ 2 x

Vamos usar as propriedades de log para abrir tudo isso:

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 x 2 + 1 - ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Vamos escrever:

cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x 1 2

Vamos ter:

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 + ln ⁡ x 2 + 1 - ln ⁡ cos ⁡ 2 x 1 2

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 + ln ⁡ x 2 + 1 - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Tudo limpo para aplicar a derivada

Passo 3

Derivando loucamente:

ln ⁡ y ' = ln ⁡ 2 + ln ⁡ x 2 + 1 - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x '

y ' y = ln ⁡ x 2 + 1 ' - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x '

y ' y = 2 x x 2 + 1 - 1 2 - 2 sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x

y ' y = 2 x x 2 + 1 + sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x

Sobrou um y ali, vamos passar para a direita multiplicando:

y ' = y 2 x x 2 + 1 + sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x

E agora?

Calma jovem gafanhoto, vamos usar:

y = 2 x 2 + 1 cos ⁡ 2 x

Ai nossa derivada fica:

y ' = 2 x 2 + 1 cos ⁡ 2 x 2 x x 2 + 1 + sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x

Resposta

y ' = 2 x 2 + 1 cos ⁡ 2 x 2 x x 2 + 1 + sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x

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