Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 23
Utilize a tabela do Exemplo 3 para encontrar a aproximação linear da função humidex quando a temperatura está próxima de e a umidade relativa do ar é de aproximadamente . Estime também o humidex quando a temperatura é de e a umidade relativa, .
Passo 1
Show de bola, galera! Vamos resolver essa questão em 3 passos!
Nessa questão nós temos uma tabela de valores que fornecem os valores de humidex quando a temperatura real é e a umidade relativa do ar é .
Com isso, a questão quer que a gente determine uma aproximação linear da função humidex no ponto para depois o humidex quando a temperatura é e a umidade relativa do ar é
Muita informação, né? Então vamos com calma...
Primeiro nós precisamos obter a aproximação linear da função humidex , que chamaremos de . Como nós obtemos essa função em um ponto
Como estamos procurando uma aproximação para uma função de 2 variáveis no ponto , essa aproximação será dada por:
Uma vez obtida essa aproximação no ponto , vamos pegar o ponto e substituir nela.
Passo 2
Aqui nós vemos que serão necessárias as derivadas da função para obter
Essas derivadas parciais nós vamos obter utilizando a noção de derivada por limites.
Lembre-se: se queremos obter , temos que manter a variável fixa e fazer pequenas variações em torno de , ou seja,
Da mesma forma, para calcular , temos que manter a variável fixa e fazer pequenas variações em torno de , isto é,
Lembrou? Beleza.
Passo 3
Agora vamos relembrar o procedimento que a gente pode utilizar para calcular uma aproximação para derivada quando temos diversos valores de função apresentados igual aos que estão na tabela do enunciado.
Pelo que discutimos no passo 2, temos que focar no ponto (32,65) e fazer as menores variações em torno dele.
Veja na tabela acima o valor da função no ponto .
Para começar calculando vamos então manter fixo e fazer variações em A menor variação possível em vai nos levar aos pontos e , cujos valores de estão indicados na imagem abaixo:
Temos dois valores próximos para fazer a estimativa da derivada, então vamos usar cada um deles e depois fazer a média dessas estimativas, ok?
A partir disso,
Vamos seguir o mesmo raciocínio para calcular . Os valores que usaremos estão indicados na imagem abaixo:
Vamos fazer o seguinte:
Agora vamos às contas...
Passo 4
Primeiro vamos fazer para usando os valores da tabela:
Agora, fazendo a média desses resultados, obtemos
Passo 5
Agora usamos a tabela abaixo para estimar
Assiiimm....
Passo 6
Finalmente, vamos escrever a expressão da aproximação linear da função no ponto
Para a aproximação que queremos no enunciado: