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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 15

Utilize a transformação x = u / v , y = u v para calcular a soma integral

∫ 1 2   ∫ 1 / y y   x 2 + y 2 d x d y + ∫ 2 4   ∫ y / 4 4 / y   x 2 + y 2 d x d y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta questão você precisa da transformação x = u v , y = u v para resolver a soma das integrais

∫ 1 2   ∫ 1 / y y   x 2 + y 2 d x d y + ∫ 2 4   ∫ y / 4 4 / y   x 2 + y 2 d x d y

Podemos começar? Então, vamos à resolução!

Passo 2

Trabalhando com a transformação x = u v , y = u v observamos que:

y x = v 2 x y = u 2

Assim o jacobiano valerá:

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = J ( u , v ) = v - 1 - u v - 2 v u J ( u , v ) = v - 1 u + v - 1 u J ( u , v ) = 2 u v

Para y = x , temos então:

u v = u v v = 1

O que nos leva a:Com y = 4 x teremos v = 2 ;Com x y = 1 temos: u = 1 ;Com x y = 4 temos: u = 2 Calculando a integral, temos:

  ∫ 1 2     ∫ 1 / y y     x 2 + y 2 d x d y + ∫ 2 4     ∫ y / 4 4 / y     x 2 + y 2 d x d y = ∫ 1 2     ∫ 1 2     u 2 v 2 + u 2 v 2 2 u v d u d v   ∫ 1 2     ∫ 1 / y y     x 2 + y 2 d x d y + ∫ 2 4     ∫ y 4     / 4 x 2 + y 2 d x d y = ∫ 1 2     ∫ 1 2     2 u 3 v 3 + 2 u 3 v d u d v   ∫ 1 2     ∫ y y     x 2 + y 2 4 x d y + ∫ 2 4     ∫ y 4     / 4 x 2 + y 2 d x d y = ∫ 1 2     u 4 2 v 3 + 1 2 u 4 v 0 2 d v   ∫ 1 2     ∫ 1 / y y     x 2 + y 2 d x d y + ∫ 2 4     ∫ y / 4 4 / y     x 2 + y 2 d x d y = ∫ 1 2     15 2 v 3 + 15 v 2 d v   ∫ 1 2     ∫ 1 / y y     x 2 + y 2 4 x d y + ∫ 2 4     ∫ y / 4 4     y x 2 + y 2 u x d y = - 15 4 v 2 + 15 v 2 4 0 2   ∫ 1 2     ∫ 1 / y y     x 2 + y 2 d x d y + ∫ 2 4     ∫ y / 4 4 / 2     x 2 + y 2 d x d y = 225 16

Resposta

Portanto, a resposta é ∫ 1 2   ∫ 1 / y y   x 2 + y 2 d x d y + ∫ 2 4   ∫ y / 4 4   y x 2 + y 2 d x d y = 225 16

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