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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 19

Calcule as integrais nos Exercícios 7-20.

int_0^(pi // 4) int_0^(l n s e c v) int_(- oo)^(2 t) e^x d x d t d v (espaço tvx)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta solução, vamos calcular a integral tripla. Vamos lá?

int_0^((pi)/(4)) int_0^(l n ( s e c ( v ) )) int_(- oo)^(2 t) e^x d x d t d v

Passo 2

Atenção: integrando em x , perceba que quando x -> - oo nós temos e^x -> 0 :

int_0^((pi)/(4)) int_0^(l n ( s e c ( v ) )) e^(2 t) d t d v

Passo 3

Agora integrando em t, teremos:

[[,,int_0^((pi)/(4)),,[(1)/(2) e^(2 t)]_0^(l n ( s e c ( v ) )),d,v],[,,int_0^((pi)/(4)),,[(1)/(2) e^(2 l n ( s e c ( v ) )) - (1)/(2)],d,v],[,,int_0^((pi)/(4)),,[(s e c^2 v)/(2) - (1)/(2)],d,v]]

Passo 4

E finalmente integrando em v , lembrando que t g ((pi)/(4)) = 1 , encontraremos:

[(t g ( v ))/(2) - (v)/(2)]_0^((pi)/(4)) d v = (1)/(2) - (pi)/(8)

Resposta

Chegaremos à conclusão que a integral é igual a (1)/(2) - (pi)/(8) .

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