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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 44

Calcule as integrais nos Exercícios 41-44 alterando a ordem de integração de maneira apropriada.

∫ 0 2   ∫ 0 4 - x 2   ∫ 0 x   s e n ⁡ 2 z 4 - z d y d z d x

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a integral tripla:

∫ 0 2   ∫ 0 4 - x 2   ∫ 0 z   s e n ⁡ ( 2 z ) 4 - z d y d z d x

Neste primeiro passo não será necessário alterar a ordem de integração para resolvê-la de forma mais conveniente.Acompanhe com atenção!

Passo 2

Sendo assim, podemos integrar em y :

  ∫ 0 2     ∫ 0 4 - x 2     s e n ⁡ ( 2 z ) 4 - z y 0 x d z d x   ∫ 0 2     ∫ 0 4 - x 2     s e n ⁡ ( 2 z ) 4 - z x d z d x

Passo 3

Agora sim iremos alterar a ordem de integração:

∫ 0 4   ∫ 0 4 - z   s e n ⁡ ( 2 z ) 4 - z x d x d z

Passo 4

Integrando em x .

  ∫ 0 4     s e n ⁡ ( 2 z ) 4 - z x 2 2 0 4 - z d z   ∫ 0 4     s e n ⁡ ( 2 z ) 4 - z ( 4 - z ) 2 2 d z   ∫ 0 4     s e n ⁡ ( 2 z ) 2 d z

Passo 5

E finalmente integrando em z e utilizando das identidades trigonométricas:

- c o s ⁡ ( 2 z ) 4 0 4 - 1 4 + 1 2 s e n 2 ⁡ ( z ) 0 4 s e n 2 ⁡ 4 2

Resposta

Portanto, chegamos à conclusão de que o valor da integral é s e n 2 ⁡ 4 2 .

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