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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 60

60- Valor médio Em um sistema massa-mola-amortecedor como o que vimos no Exercício 59, a posição da massa no instante t é:

y = 4 e - t ( s e n   t - cos ⁡ t ) ,       t ≥ 0

Determine o valor médio de y no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Para calcular o valor médio de uma função temos que aplicar a seguinte fórmula:

v a l o r   m e d i o = 1 b - a × ∫ a b f x d x

Onde a e b são os valores do nosso intervalo.

Passo 2

Fazendo a = 0 e b = 2 π temos:

V m = 1 2 π ∫ 0 2 π 4 e - t ( s e n   t - cos ⁡ t ) d t

V m = 4 2 π   ∫ 0 2 π e - t s e n   t   d t - ∫ 0 2 π ( e - t cos ⁡ t ) d t  

Passo 3

Precisamos fazer duas integrações por partes a primeira :

u = s e n   t → d u = c o s t

d v = e - t → v = - e - t

Logo:

∫ e - t s e n t = - e - t s e n   t + ∫ e - t c o s t

Só que repara no que encontramos:

∫ e - t s e n t   - ∫ e - t c o s t = - e - t s e n   t

Já encontramos o resultado da soma das duas integrais, então já podemos substituir na equação do passo dois. Só precisamos aplicar o intervalo nela.

Passo 4

Logo:

V m = 2 π - e - t s e n   t 0 2 π

O que dá:

V m = 2 π - e - 2 π s e n   2 π + e 0 s e n 0 = 0

Resposta

v a l o r   m e d i o = 0

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