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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 28

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ x   a r c t g   x d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = a r c t g   x ;

d u = 1 1 + x 2 d x ;

d v = x   d x ;

v = ∫ x   d x = x 2 2 .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = a r c t g   x ⋅ x 2 2 - ∫ x 2 2 ⋅ 1 1 + x 2 d x

∫ u d v = a r c t g   x ⋅ x 2 2 - 1 2 ∫ 1 - 1 x 2 + 1 d x

∫ u d v = a r c t g   x ⋅ x 2 2 - 1 2 x + 1 2 a r c t g   x = x 2 + 1 2 a r c t g   x - 1 2 x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x 2 + 1 2 a r c t g   x - 1 2 x + c

Resposta

x 2 + 1 2 a r c t g   x - 1 2 x + c

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