20- Suponha f: R → R derivável e considere a função dada por y = x^2 * f(x^2 + 1)

Verifique que dy/dx = 2x * f(x^2 + 1) + 2x^3 * f'(x^2 + 1)

Expresse dy/dx | x=1 em termos de f(2) e f'(2)

Passo 1

a)Para verificar a identidade, basta aplicar a regra do produto na função inicial.

Assim, temos:

d y d x = x 2 ' . f x 2 + 1 + x 2 . x 2 + 1 ' . f ' x 2 + 1

Desenvolvendo:

d y d x = 2 x . f x 2 + 1 + x 2 . 2 x . f ' x 2 + 1 = 2 x f x 2 + 1 + 2 x 3 f ' x 2 + 1

Como queríamos verificar.

Passo 2

b)Para isso, basta fazer a substituição x=1:

d y d x │ x = 1 = 2.1 . f 1 + 1 + 2.1 . f ' 1 + 1 = 2 f 2 + 2 f ' 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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