Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 40
Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.
40.
Passo 1
E aí, galerinha!
Nesse problema queremos encontrar a derivada de ordem da função .
Parece complicado?
Com certeza não vamos derivar derivar vezes para obter o resultado pois isso daria muito trabalho.
O que temos que fazer é encontrar uma relação de recorrência das derivadas de e aí sim poder determinar a derivada de ordem .
Nesse caso, é um produto de funções, então vamos aplicar a regra do produto a princípio.
Porem tambem temos uma função composta , portanto vamos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada dessa função.
Então vamos começar calculando as derivadas de primeira ordem para encontrar essa relação.
Lembrando que pelo teorema fundamental do calculo, a derivada de e são dadas por
E tambem que
Bora lá!
Passo 2
Como ele diz no enunciado, a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão (perceba que precisamos da regra do produto):
Segunda derivada:
Aquela segunda derivada na equação a gente acabou de calcular ali em cima:
Terceira derivada:
Então, cada vez que derivamos o sinal se altera, o permanece lá e os números multiplicando vão cada vez se tornando menores:
Vamos usar :
Menos um elevado a um número par é 1:
É isso! O que achou? Responde Aí!