Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 38

Para quais valores de a série converge?

Passo 1

Fala, galera! Tudo na paz?

Bom, precisamos achar quais valores pode assumir para que a série convirja:

Aqui nós testaremos quatro hipóteses para os valores de :

Para essa hipótese, teremos:

E analisaremos sua convergência por meio do cálculo do limite de com (teste da divergência).

. Analisatemos pelo Teste da Integral.

Para essa hipótese vamos usar o Teste da Comparação.

E por fim:

Onde também usaremos o Teste da Comparação.

Relembrando os testes:

Para o Teste da Divergência sabemos que a série :

Diverge se ou não existir.

Para o Teste da Comparação, temos: achamos uma série que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série dada no enunciado. Se for convergente e para todo , então também será convergente. Se for divergente e para todo , então também será divergente.

Por fim, o Teste da Integral: Se for divergente, então é divergente. A mesma lógica vale para convergência.

Vamos lá!

Passo 2

Para este problema, vamos analisa-lo em parte, primeiramente, se pensarmos em valores de , podemos perceber que seu termo em si diverge no limite

Como é negativo, podemos analisar da seguinte forma

Aplicando L’Hospital:

Fazendo a divisão de frações:

Cancelando termos que se dividem: . Teremos:

O limite não existe. Portanto, para a série diverge.

Passo 3

Para , na série podemos usar o teste da integral

Fazendo a substituição:

Mudando os limites de integração:

Resolvendo a integral, temos:

Aplicando os limites de integração:

Calculando o limite, teremos finalmente:

Pelo teste da integral, quando a série diverge.

Passo 4

Com , podemos notar que para , então podemos afirmar que

Para a série , nós provamos a divergência no passo anterior, como os termos com são maiores que o dessa série, pelo teste da comparação quando a série diverge.