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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 38

Para quais valores de p a série ∑ n = 2 ∞ 1 n p ln ⁡ n converge?

Passo 1

Fala, galera! Tudo na paz?

Bom, precisamos achar quais valores p   pode assumir para que a série convirja:

∑ n = 2 ∞ 1 n p ln ⁡ n

Aqui nós testaremos quatro hipóteses para os valores de p :

  • p < 0

    • Para essa hipótese, teremos:

    ∑ n = 2 ∞ n - p ln ⁡ n

    E analisaremos sua convergência por meio do cálculo do limite de a n com n → ∞ (teste da divergência).

  • p = 1 . Analisatemos pelo Teste da Integral.

  • 0 ≤ p ≤   1

    • Para essa hipótese vamos usar o Teste da Comparação.

    E por fim:

  • p > 1

Onde também usaremos o Teste da Comparação.

Relembrando os testes:

Para o Teste da Divergência sabemos que a série ∑ n = 1 ∞ a n :

  • Diverge se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 ou não existir.

Para o Teste da Comparação, temos: achamos uma série b n que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série a n dada no enunciado. Se b n for convergente e a n ≤ b n para todo n , então ∑ a n também será convergente. Se b n for divergente e a n ≥ b n para todo n , então ∑ a n também será divergente.

Por fim, o Teste da Integral: Se ∫ 1 ∞ f x d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é divergente. A mesma lógica vale para convergência.

Vamos lá!

Passo 2

Para este problema, vamos analisa-lo em parte, primeiramente, se pensarmos em valores de p < 0 , podemos perceber que seu termo em si diverge no limite

lim n → ∞ ⁡ 1 n p ln ⁡ n

Como p é negativo, podemos analisar da seguinte forma

lim n → ∞ ⁡ n - p ln ⁡ n

Aplicando L’Hospital:

lim n → ∞ ⁡ ( n - p ) ' ( ln ⁡ n ) ' = lim n → ∞ ⁡ - p   n - p - 1 1 / n

Fazendo a divisão de frações:

lim n → ∞ ⁡ - p   n - p - 1 1 / n = lim n → ∞ ⁡ - p   n - p n - 1 n 1

Cancelando termos que se dividem: n - 1 n 1 = n n = 1 . Teremos:

lim n → ∞ ⁡ - p   n - p - 1 1 / n = lim n → ∞ ⁡ - p   n - p = ∞

O limite não existe. Portanto, para p < 0 a série diverge.

Passo 3

Para p = 1 , na série ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n podemos usar o teste da integral

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 2 t 1 x ln ⁡ x d x

Fazendo a substituição:

u = ln ⁡ x , d u = 1 x d x

Mudando os limites de integração:

u 2 = ln ⁡ 2 e u t = ln ⁡ t

Resolvendo a integral, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ t 1 u d u = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ u ln ⁡ 2 ln ⁡ t

Aplicando os limites de integração:

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ u ln ⁡ 2 ln ⁡ t = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ t - ln ⁡ ln ⁡ 2

Calculando o limite, teremos finalmente:

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ t - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞

Pelo teste da integral, quando p = 1 a série diverge.

Passo 4

Com 0 ≤ p < 1 , podemos notar que n p ln ⁡ n ≤ ( n ln ⁡ n ) para n ≥ 2 , então podemos afirmar que

1 n p ln ⁡ n ≥ 1 n ln ⁡ n

Para a série ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n , nós provamos a divergência no passo anterior, como os termos com são maiores que o dessa série, pelo teste da comparação quando 0 ≤ p < 1 a série diverge.

Passo 5

Para p > 1 , podemos usar o fato de que n p ln ⁡ n > n p , para n > e , então

1 n p ln ⁡ n < 1 n p

Isso vale para n ≥ 3 , como temos só um termo fora da comparação e ele não é divergente, não faz diferença.

Como a série ∑ n = 2 ∞ 1 / ( n p ) , é a série-p e sabemos que ela converge para p > 1 , por comparação

∑ n = 2 ∞ 1 n p ln ⁡ n

Converge para p > 1 .

Resposta

p > 1

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