Encontre a soma da série.

64.

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 6 2 n ( 2 n ) !

Passo 1

Fala, gente bonita!

O enunciado jogou pra gente uma série bem doidona e quer a soma dela.

Para calcular essa soma, vamos manipular o que nos deram até que se pareça com uma série de Taylor que a gente conheça. Show?

Olha só:

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 6 2 n 2 n !

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 6 2 n 2 n !

Tá vendo que, tanto no numerador quanto no denominador, temos dois termos cujo expoente são iguais?

Neste caso podemos juntar as potências de 2 n . Veja:

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 6 2 n 2 n !

Passo 2

Agora que manipulamos essa série, vamos observar com qual outra ela se parece.

Epa! Temos uma série parecida, olha isso:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

A única diferença pra nossa é que ela tem um x no lugar do π 6 . Então vamos substituir!

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 6 2 n 2 n !

Fazendo o trabalho inverso, descobrimos que

cos ⁡ π 6 = 3 2

Moleza, né? 😉

Resposta

cos ⁡ π 6 = 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados