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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 80

Para que valores de a e b temos underset(x -> 0)(l i m) (t g 2 x)/(x^3) + (a)/(x^2) + (s i n ( b x ))/(x)

Passo 1

Inicialmente iremos dividir os limites na soma de limites. Essa propriedade tem como definição:

underset(x -> 0)(l i m) w + y + v = underset(x -> 0)(l i m) w + underset(x -> 0)(l i m) y + underset(x -> 0)(l i m) v

Usando a definição acima reescrevemos nossa expressão como:

underset(x -> 0)(l i m) (t g 2 x)/(x^3) + (a)/(x^2) + (s i n ( b x ))/(x) = underset(x -> 0)(l i m) (t g 2 x)/(x^3) + underset(x -> 0)(l i m) (a)/(x^2) + underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( b x ))/(x)

underset(x -> oo)(l i m) (x^2 - x + 1)/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x)) = underset(x -> oo)(l i m) ((d)/(d x) (x^2 - x + 1))/((d)/(d x) (sqrt(x^2 + 1)) + (d)/(d x) (sqrt(x))) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/((1)/(2) (2 x)/((sqrt(x^2 + x))) - (1)/(2) (1)/((sqrt(x)))) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/((1)/(2) (2 x)/(x (sqrt(1 + 1 // x))) - (1)/(2) (1)/((sqrt(x))))

underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/((1)/(2) (2 x)/(x (sqrt(1 + 1 // x))) - (1)/(2) (1)/((sqrt(x)))) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/((1)/(2) (2)/((1)) - (1)/(2) (1)/((sqrt(x)))) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/(2 - 0) = oo

Passo 2

Assim iremos calcular o valor de cada limite. O primeiro será:

underset(x -> 0)(l i m) (t g 2 x)/(x^3) = (0)/(0) , encontramos aqui uma indeterminação. Para resolvê-lo aplicamos L’Hopital:

underset(x -> 0)(l i m) (t g 2 x)/(x^3) = underset(x -> 0)(l i m) ((d)/(d x) (t g 2 x))/((d)/(d x) (x^3)) = underset(x -> 0)(l i m) (2 s e c^2 2 x)/(3 x^2) =

Resposta

underset(x -> oo)(l i m) sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x) = oo

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