Simplifique: 2 \* 5^(log_5(3 \* x^2))

Passo 1

Então, galerinha, esse aí dá medo, né? Mais feio que o bicho papão! Mas vou te ensinar a enfrentar esse monstro de uma vez por todas! O problema quer que você deixe isso com uma cara mais fofinha e aceitável. Pra isso, basta fazermos o seguinte:

Passo 2) chamar tudo de y e passar logaritmo dos dois lados

Passo 3) usar propriedades de log

Passo 4) pegar uma forma mais simples e achar a resposta

Passo 2

Então, como eu disse no Passo 1, vamos chamar tudo aquilo de y pra ficar mais fácil, ok?

2 5 l o g 5     ( 3 x 2 )   =   y

Agora, pra a gente poder tirar aquele log dali do expoente, temos que passar log dos dois lados da igualdade e usar uma propriedade de log que desce o expoente.

ATENÇÃO: 1) Tem que passar log DOS DOIS LADOS, senão não vale

2) O log dos dois lados tem que ter a mesma base, senão também não vale

Vamos usar a base (aquele numerozinho que fica embaixo) como 5, porque a base do log do expoente é 5, então isso vai facilitar um pouco a nossa vida hehe

l o g 5   ( 2 5 l o g 5     ( 3 x 2 ) )   = l o g 5   y

.

Passo 3

Agora vamos usar essa propriedade de logaritmo aqui:

l o g b     a n   =   n   l o g b     a

Ela, basicamente, desce o expoente do que tá dentro do log, beleza? Então, na nossa expressão (essa daqui 2 5 l o g 5     ( 3 x 2 ) ) a gente vai descer o expoente que tá dentro do log e fica assim:

l o g 5   ( 3 x 2 )   l o g 5   25 = l o g 5   y

Como 25   =   5 2

l o g 5   ( 3 x 2 )   l o g 5   5 2     = l o g 5   y

Usando de novo a propriedade de descer o expoente…

l o g 5   ( 3 x 2 )   2   l o g 5   5     = l o g 5   y

Vamos lembrar que l o g n   n   = 1 pra qualquer n ≠ 0   e   n   > 1 , então:

l o g 5   ( 3 x 2 )   2 = l o g 5   y

Agora vamos usar a mesma propriedade, só que “reversa”. Ao invés de descer o expoente do log, vamos subir o 2 pra virar expoente do log. Saca só:

l o g 5   ( 3 x 2 ) 2   = l o g 5   y

l o g 5   ( 9 x 4 ) = l o g 5   y

Passo 4

l o g 5   ( 9 x 4 ) = l o g 5   y

Repara que pra um lado ser igual ao outro, o y tem que ser igual a 9 x 4 , consegue ver?Isso é porque o logaritmo é uma função injetora, que quer dizer que se tem dois logs (de mesma base) iguais, quer dizer que os logaritmandos (o outro número que não é a base) tem que ser iguais!

Resposta

9 x 4

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