Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 64
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Aobaaa meus fii, cêis tão baunzinho, bora lá?
Vamos explicar melhor a propriedade da potência dos logaritmos, para podermos aplicar na expressão a seguir:
A propriedade da potência dos logaritmos nos diz que, para qualquer número real positivo e qualquer número real o logaritmo de elevado à potência na mesma base é igual a vezes o logaritmo de
Matematicamente, se temos , então
Isso significa que podemos "tirar" o expoente da expressão e multiplicá-lo pelo logaritmo de na mesma base.
Essa propriedade é útil em muitas situações, especialmente quando precisamos simplificar expressões ou resolver equações envolvendo potências e logaritmos.
No contexto da questão, aplicamos essa propriedade para simplificar a função ao tomar o logaritmo natural de ambos os lados.
Essa simplificação nos permite transformar em um problema mais fácil de resolver, que envolve um limite de uma expressão mais simples.
Passo 2
Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.
Analisando o limite dado
vemos que temos uma situação com potência.
Quando isso acontece, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Utilizando as informações do enunciado, podemos chamar
Para que a Regra de l’Hôspital seja apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo , ou quando .
Na nossa questão, quando , nós temos que
Logo, nós obtemos a forma , comprovando que a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Passo 3
Agora vamos encontrar este limite.
Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, vamos utilizá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!
Neste método temos que
O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito.
Pode parecer complicado, mas ao fazer pequenas manipulações algébricas, conseguimos facilitar muito nosso problema.
Vamos dizer que
Passo 4
Como temos um caso com potência, aplicar o logarítimo em ambos os lados costuma ser uma boa ideia.
Assim, obtemos
Vamos chamar e . As derivadas dessas funções são
Substituindo esses valores, obtemos
Ainda não acabamos por aqui!
Até agora nós calculamos o limite de mas na verdade queremos o limite de .
Passo 5
Sabemos que
Logo, temos que
Substituindo esse valor no limite dado pelo enunciado, temos que
Nem foi tão dificil ein ?!
Essa sim é a resposta que estávamos procurando.