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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 29c

Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:

c) 2 z = x 2 + y 2 ; P 1,1 , 1

Passo 1

A ideia nessa questão é lembrar que o vetor gradiente é normal a curva. Então vamos montar uma expressão para f x , y , z e acharmos o gradiente de f . Por fim, vamos verificar o valor do gradiente no ponto 1,1 , 1 . A expressão que ele nos deu foi a seguinte:

2 z = x 2 + y 2

Isto é,

2 z - x 2 - y 2 = 0

Então a expressão para f x , y , z fica o seguinte:

f x , y , z = 2 z - x 2 - y 2

OBS: Repare que também podemos escrever f x , y , z = - 2 z + x 2 + y 2 e com isso chegaríamos no mesmo vetor que o gabarito, mas como ele diz “Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado” podemos encontrar qualquer um que atende a essa condição, sacou?

Passo 2

Agora que já encontramos f x , y , z vamos ver como fica o gradiente de f :

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Assim,

∇ f x , y , z = ∂ 2 z - x 2 - y 2 ∂ x i → + ∂ 2 z - x 2 - y 2 ∂ y j → + ∂ 2 z - x 2 - y 2 ∂ z k →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y , z = - 2 x   i → - 2 y   j → + 2   k →

Passo 3

Para finalizarmos esse exercício, basta verificarmos o valor do gradiente no ponto 1,1 , 1 . Assim,

∇ f 1,1 , 1 = - 2 × 1   i → + - 2 × 1   j → + 2   k →

Logo,

∇ f 1,1 , 1 = - 2   i → - 2   j → + 2   k →

Representando geometricamente esse vetor:

Resposta

Vetor:

∇ f 1,1 , 1 = - 2   i → - 2   j → + 2   k →

Representação geométrica:

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