Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.1 - Ex. 22
Encontre o vetor gradiente de .
Passo 1
E aiiii turma, tudo beleza? Bora lá!!
Então, precisamos determinar o vetor gradiente da seguinte função :
E agora?
Vamos lembrar como é o vetor gradiente, certo!?
O vetor gradiente e expresso como:
Tá, mas o que significa e ?
Bom, é a derivada de em relação a , e já é a derivada de em relação a .
Sabendo disso, é só aplicarmos as derivadas e substituir na equação acima.
Viu como não é difícil!!! Bora lá então!!!
Passo 2
Sabemos como é o vetor gradiente:
E temos a função :
Que é a mesma coisa que:
Lembra que nesse caso de derivada se aplica a regra da cadeia. Derivamos o que está fora, no caso, baixamos o expoente e repetimos a expressão aplicando ao expoente, depois multiplicamos pela derivada do termo de dentro.
Então, vamos começar calculando a derivada , ou seja, em relação a .
Derivando vamos ter:
Passo 3
Agora vamos derivar , ou seja, em relação a .
Aplicamos a mesma regra de derivada que fizemos em relação a , porém agora ao termo .
Derivando, vamos ter:
Sendo assim, temos como resposta o seguinte vetor gradiente:
Outra forma de reescrever esse vetor, pode ser: