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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.1 - Ex. 21

Encontre o vetor gradiente de f .

f x , y = y s e n ( x y )

Passo 1

Faaaala meu povo, tudo bem? Vamos nessa!!

Precisamos determinar o vetor gradiente da seguinte função f ( x , y ) :

f x , y = y s e n ( x y )

Primeiro vamos lembrar como é o vetor gradiente, certo!?

O vetor gradiente e expresso como:

∇ f x , y = f x x , y i → + f y ( x , y ) j →

Onde,

f x é a derivada de f ( x , y ) em relação a x .

f y   é a derivada de f ( x , y ) em relação a y .

Sabendo disso, é só aplicarmos as derivadas e substituir na equação acima.

Bora lá resolver!!!

Passo 2

Vamos começar determinando o f x x , y .

Devemos derivar a função f ( x , y ) em relação a x .

f x , y = y s e n ( x y )

Derivando vamos ter:

f x x , y = y 2 cos ⁡ x y

Para determinar o valor de f y ( x , y ) , precisamos derivar em relação a y .

Derivando vamos ter:

f y x , y = s e n x y + x y c o s ( x y )

Passo 3

Agora podemos escrever o vetor gradiente:

∇ f x , y = f x x , y i → + f y ( x , y ) j →

Basta substituir os valores de f x x , y e f y ( x , y ) encontrados antes.

Sendo assim, podemos escrever o vetor gradiente como:

∇ f x , y = y 2 cos ⁡ x y i → + s e n x y + x y c o s ( x y ) j →

Resposta

∇ f x , y = y 2 cos ⁡ x y i → + s e n x y + x y c o s ( x y ) j →

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