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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 49b

Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:

b) f x , y = 2 x 5 x 2 + y 2 ,     ( x , y ) ≠ ( 0,0 )         0 ,               x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Devemos verificar se as derivadas parciais existem na origem:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f 0 + ∆ x , 0 - f ( 0,0 ) ∆ x = lim x → 0 ⁡ 2 ∆ x 5 ∆ x 2 + 0 2 - 0 ∆ x = lim x → 0 ⁡ 2 ∆ x 2 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0,0 + ∆ y - f ( 0,0 ) ∆ y = l i m y → 0 0 - 0 ∆ y = 0  

Há a existência das derivadas parciais na origem.

Passo 2

Agora, devemos, pela definição, provar que f é diferenciável:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y - f 0,0 + ∂ f ∂ x 0,0 x - 0 + ∂ f ∂ y 0,0 y - 0 x - 0 2 + y - 0 2

lim x → 0 y → 0 ⁡ 2 x 5 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 y → 0 ⁡ 2 x 5 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = 0

Resposta

Como ∂ f ∂ x 0,0 , ∂ f ∂ y 0,0 existem e   l i m x → 0 y → 0 = 0 , f é diferenciável em (0,0).

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