Seja F(x) = (r^2 - 2r) * x , onde x = 〈x, y〉 e r = |x| . Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, determinando os pontos onde F(x) = 0 .

Passo 1

E aiii galera, beleza?

Temos o seguinte campo:

F x = r 2 - 2 r x , onde x = x ,   y e r = x .

Com base nisso, devemos usar um SCA para traçar o campo vetorial em vários domínios, até compreender oque ocorre. Assim, descrever e explicar a aparência do desenho, determinado onde F x = 0 .

Muita calma agora?

Vamos lembrar o que quer dizer SCA: significa um Sistema de Computação Algébrica (SCA)

Sugiro utilizar o software Mathematica, mas pode usar algum outro de sua preferência.

Para entrar no software com a função do campo, o primeiro passo é reescrever o campo em função de x e y . Para isso basta você substituir r pelo módulo do vetor x e substituir x = ( x , y ) .

Com essa equação você conseguirá plotar o campo vetorial.

Já para determinar o valor que F x = 0 , é só igualar a zero o campo vetorial. Assim:

F x = r 2 - 2 r x = 0 ,   0

Onde,

x = ( x , y )

Para saber onde o campo vai ser zero, basta analisarmos onde o termo que está multiplicando a componente x = ( x , y ) vai ser zero.

Agora ficou moleza em pessoal!!! Vamos nessa!

Passo 2

Vamos primeiro escrever nosso campo em função de x e y .

F x = r 2 - 2 r x

Sabemos que x = x ,   y e r = x .

Vamos obter r , fazendo o módulo temos:

r = x 2 + y ²

Substituindo em F , temos:

F x , y = x 2 + y 2 2   - 2 x 2 + y 2 x ,   y

Assim, temos o seguinte campo:

F x , y = x x 2 + y 2 2   - 2 x 2 + y 2 ,   y x 2 + y 2 2   - 2 x 2 + y 2

Agora vamos plotar esse campo. Usando o comando VectorPlot no software Mathematica, obtemos:

Observe que temos umas distribuições circulares dos vetores, e até o círculo de raio 2   os vetores apontam para o centro. Observe também, que no centro onde o raio é igual a 0 e na região onde o raio é igual a 2 o campo é nulo.

Passo 3

Agora vamos analisar a condição para que F x = 0 .

F x = r 2 - 2 r x = 0 ,   0

Onde,

x = ( x , y )

Para saber onde o campo vai ser zero, basta analisarmos onde o termo que está multiplicando a componente x = ( x , y ) vai ser zero. Logo,

r 2 - 2 r = 0

r r - 2 = 0

r = 0           o u           r = 2

Ou seja, como visto na figura, os vetores em torno da origem r = 0 até a circunferência r = 2 têm magnitude que se aproximam de 0 .

Resposta

r = 0           o u           r = 2

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