Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.8 - Ex. 19

Verificar que a curva:

É a metade de uma hipérbole. Encontrar a equação cartesiana.

Passo 1

Então galera, a curva que nos foi dada é uma função vetorial, então já está parametrizada em termos de . No entanto, como é vetorial, então possui componentes em e em , certo? Pela curva que nos foi dada, temos que a parametrização é:

Até aqui tudo certo, não é? OK! A estratégia que vamos utilizar para determinar a equação cartesiana da curva será: como e estão escritos em termos de seno e cosseno hiperbólico, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria hiperbólico para escrever tudo em uma expressão só, tudo bem? A relação é:

Sabendo disso, então bora pra cima agora!

Passo 2

Se elevarmos ao quadrado, teremos:

Multiplicando a primeira equação por e a segunda equação por , teremos:

Substituindo na relação fundamental da trigonometria hiperbólico, teremos:

Pela equação que encontramos, fica claro concluir que se trata de uma hipérbole! Agora nos resta provar que se trata da METADE de uma hipérbole.

Passo 3

Então pessoal, assim como sabemos, temos que , certo? Em termos de componente, ou seja, utilizando a parametrização, temos que:

Sendo assim, pela definição acima, teremos:

Sabendo que uma hipérbole é simétrica em relação ao eixo , como temos uma restrição para a função, isso implica que teremos apenas uma parte da hipérbole, assim como mostrado no gráfico abaixo: