Exercícios de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível - Lista de Exercícios Resolvida

Considere a função

1. Represente geometricamente o domínio de e faça um esboço da curva de nível que passa pelo ponto .
2. Encontre um intervalo e uma função contínua cuja imagem é .

Seja

a) Determine o domínio da função e esboce seu gráfico.

b) Encontre a curva de nível da função que contém o ponto .

c) Dê uma parametrização para a curva do item .

Considere a curva com

1. Mostre que a imagem de está contida numa curva de nível da função e determine o nível.
2. Esboce a imagem de indicando o sentido do seu percurso.

Sejam e . Esboce a imagem de e mostre que ela está contida em uma curva de nível de , indicando qual é o nível.

Considere a função e seja a curva de nível de que passa pelo ponto .

1. Represente geometricamente o domínio de e Faça um esboço da curva .
2. Determine uma parametrização para a curva , isto é, encontre um intervalo e uma função contínua cuja imagem é .

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por , onde e são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto .

Determine as equações paramétricas da curva de nível de (chamada isoterma) que passa pelo ponto .

Considere a função

1. Represente geometricamente o domínio de e faça um esboço da curva que passa pelo ponto .
2. Encontre um intervalo e uma função contínua cuja imagem é .

Sejam e . Esboce a imagem de e mostre que a ela está contida em uma curva de nível de , indicando qual é o nível.

Suponha que a imagem da curva está contida na curva de nível 3 da função , em que . Então, a reta tangente a em é

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Seja . Considere as curvas de nível

e

a) Exiba uma parametrização da forma para , explicitando , e . E, ainda, calcule .

b) Exiba uma parametrização da forma , , para .

c)Encontre o(s) pontos de onde sua reta tangente é vertical.

d)Encontre o(s) pontos de onde sua reta tangente é horizontal.

e) Esboce e .

f) Encontre apenas um ponto de onde a reta tangente à neste ponto é paralela à reta . Dica: Levem em conta que é solução da equação e é solução de

Suponha que a imagem da curva está contida na curva de nível da função , em que . Então, a reta tangente a em é

a) .

b) .

c) .

d) 7.

e) .

Sejam uma função diferenciável e seja o plano tangente ao gráfico de f no ponto e seja uma parametrização para a curva de nível 1 de . Suponha que para algum . Determine uma equação para o plano sabendo que ele contém os pontos e .

Suponha que a imagem da curva está contida na curva de nível da função , em que . Então, a reta tangente a em é

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Suponha que a imagem da curva está contida na curva de nível da função , em que . Então, a reta tangente a em é

a) .

b) .

c) .

d) 7.

e) .

Considere uma função , definida em . As curvas de nível e são, respectivamente:

uma parábola e um par de retas concorrentes.

uma parábola e uma hipérbole.

um par de retas paralelas e uma elipse.

uma hipérbole e uma parábola.

um par de retas concorrentes e uma elipse.

Considere a curva com

1. Mostre que a imagem de está contida numa curva de nível da função e determine o nível.
2. Esboce a imagem de indicando o sentido do seu percurso.

Considere uma função , definida em . As curvas de nível e são, respectivamente:

uma parábola e um par de retas concorrentes.

uma parábola e uma hipérbole.

um par de retas paralelas e uma elipse.

uma hipérbole e uma parábola.

um par de retas concorrentes e uma elipse.

Desenhar as curvas ou superfícies de nível dos seguintes campos escalares.

b)