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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.8 - Ex. 23n

Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:

n) x 2 + y 2 + z 2 = 2 y ,   z = y

Passo 1

Então galera, antes de analisarmos a equação em si, vamos reescreve-la de outra forma, saca só: sabendo que y = z , então:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 y

x 2 + y 2 + y 2 - 2 y = 0

x 2 + 2 y 2 - 2 y = 0

Colocando 2 em evidência:

x 2 + 2 y 2 - y = 0

Se completarmos o quadrado dentro do parênteses, teremos:

x 2 + 2 y - 1 2 2 = 1 2

x 2 1 2 + y - 1 2 2 1 4 = 1

Passo 2

Se prestarmos atenção no formato da equação que reescrevemos, facilmente podemos concluir que se trata da equação de uma elipse, correto? A equação vetorial para uma elipse é a seguinte:

r → t = x 0 + a . cos ⁡ t i → + y 0 + b . s e n   t j →

No qual x 0 e y 0 são as coordenadas do centro da elipse e a e b são os semi eixos da elipse! Da equação que nos foi dada temos que x 0 = 0 , y 0 = 1 2 , a = 2 2 e b = 1 2 . Substituindo na equação vetorial, teremos:

r → t = 2 2 . cos ⁡ t i → + 1 2 + b . s e n   t j →

E como y = z , então:

r → t = 2 2 . cos ⁡ t i → + 1 2 + 1 2 . s e n   t j → + 1 2 + 1 2 . s e n   t k →

E essa é a equação vetorial que procurávamos!

Resposta

r → t = 2 2 . cos ⁡ t i → + 1 2 + 1 2 . s e n   t j → + 1 2 + 1 2 . s e n   t k →

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