Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

r(t) = (2t - 1, t + 2, t), t ≥ 0

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função r → ( t ) é:

r → t = 2 t - 1 ,   t + 2 ,   t

Derivando,

r ' → t = 2 ,   1,1

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

r ' → t 2 = 2 2 + 1 2 + 1 2

Desenvolvendo,

r ' → t 2 = 6

r ' → t = 6

Bom, como o módulo não é unitário, então essa função não está parametrizada pelo comprimento de arco!

Resposta

Não está parametrizada pelo comprimento de arco.

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