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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 11e

Verificar a regra da cadeia para a função

f (x , y) = ln x y , x = 2 u^2 + v^4 , y = 3 u^2 + v^2

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

f (u , v) = f (x (u , v) , y (u , v))

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a u

(del z)/(del u) = (del f)/(del x) (del x)/(del u) + (del f)/(del y) (del y)/(del u)

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a v

(del z)/(del v) = (del f)/(del x) (del x)/(del v) + (del f)/(del y) (del y)/(del v)

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

(del f)/(del x) = (1)/(x)

(del f)/(del y) = (1)/(y)

(del x)/(del u) = 4 u

(del x)/(del v) = 4 v^3

(del y)/(del u) = 6 u

(del y)/(del v) = 2 v

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

(del z)/(del u) = (del f)/(del x) (del x)/(del u) + (del f)/(del y) (del y)/(del u)

(del z)/(del u) = ((1)/(x)) ( 4 u ) + ((1)/(y)) ( 6 u )

(del z)/(del v) = (del f)/(del x) (del x)/(del v) + (del f)/(del y) (del y)/(del v)

(del z)/(del v) = ((1)/(x)) ( 4 v^3 ) + ((1)/(y)) ( 2 v )

Deixando tudo em função dos parâmetros u e v

(del z)/(del u) = ((1)/(2 u^2 + v^4)) ( 4 u ) + ((1)/(3 u^2 + v^2)) ( 6 u )

(del z)/(del v) = ((1)/(2 u^2 + v^4)) ( 4 v^3 ) + ((1)/(3 u^2 + v^2)) ( 2 v )

Resposta

(del z)/(del u) = ((1)/(2 u^2 + v^4)) ( 4 u ) + ((1)/(3 u^2 + v^2)) ( 6 u )

(del z)/(del v) = ((1)/(2 u^2 + v^4)) ( 4 v^3 ) + ((1)/(3 u^2 + v^2)) ( 2 v )

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