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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 4

Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia

z = a r c t g x y , x = 2 t , y = 3 t

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y = f (x) e x = h ( t ) tem se

(d y)/(d t) = (d f (x))/(d x) . (d x)/(d t)

Se ambas f e h forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z = f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g (t) e y = h (t) diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

(d f (x , y))/(d t) = (del f (x , y))/(del x) . (d x ( t_0 ))/(d t) + (del f (x , y))/(del y) . (d y (t_0))/(d t)

(del f (x , y))/(del x) = (y)/(x^2 y^2 + 1)

(del f (x , y))/(del y) = (x)/(x^2 y^2 + 1)

(d x ( t ))/(d t) = 2

(d y (t))/(d t) = 3

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

(d f (x , y))/(d t) = (y)/(x^2 y^2 + 1) xx 2 + (x)/(x^2 y^2 + 1) xx 3 =

Deixando tudo numa só variável (t)

= (3 t)/(36 t^4 + 1) xx 2 + (2 t)/(36 t^4 + 1) xx 3 = (12 t)/(36 t^4 + 1)

Resposta

(12 t)/(36 t^4 + 1)

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