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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 14d

Verificar se os seguintes limites existem:

d) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (5 y - x)/(2 x - y)

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

underset([[x -> 0],[y = 0]])(lim) (5 y - x)/(2 x - y) = underset([[x -> 0],[y = 0]])(lim) (5 (0) - x)/(2 x - (0)) = underset(x -> 0)(lim) (- x)/(2 x) = underset(x -> 0)(lim) - (1)/(2) = - (1)/(2)

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) pelo eixo dos y , temos que x = 0 . Logo:

underset([[x = 0],[y -> 0]])(lim) (5 y - x)/(2 x - y) = underset([[x = 0],[y -> 0]])(lim) (5 y - (0))/(2 (0) - y) = underset(y -> 0)(lim) (5 y)/(- y) = underset(y -> 0)(lim) - 5 = - 5

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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