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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 15c

Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,   y tende ao ponto indicado:

c) f x ,   y = 3 x y x 2 + y 2 ;   P ( 0 ,   0 )

Passo 1

Vamos supor que o limite existe e é zero.

lim x → 0 y → 0 ⁡ f ( x ,   y ) = lim x → 0 y → 0 ⁡ 3 x y x 2 + y 2 = 0

Assim, para mostrar isso podemos usar a definição de limite:

Dado um ε > 0 existe δ > 0 tal que 3 x y x 2 + y 2 - 0 < ε sempre que 0 < x 2 + y 2 < δ .

Passo 2

Podemos reorganizar 3 x y x 2 + y 2 - 0 da seguinte forma:

3 x y x 2 + y 2 - 0 = 3 x y x 2 + y 2

E também podemos dizer que:

x ≤ x 2 + y 2

e

y ≤ x 2 + y 2

Passo 3

Com o que foi dito no passo 2, podemos fazer a seguinte relação:

3 x y x 2 + y 2 ≤ 3 x 2 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Simplificando os termos, nós temos:

3 x y x 2 + y 2 ≤ 3 x 2 + y 2

Como 0 < x 2 + y 2 < δ , podemos dizer que:

3 x y x 2 + y 2 ≤ 3 δ

Passo 4

Assim, se tomarmos δ = ε 3 podemos dizer que:

3 x y x 2 + y 2 ≤ ε

Sempre que 0 < x 2 + y 2 < δ .

Com isso provamos que o limite existe e é igual a zero.

lim x → 0 y → 0 ⁡ 3 x y x 2 + y 2 = 0

Resposta

O limite existe.

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Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :a) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2
Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :b) lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2
Calcular os limites seguintes:c) underset([[x - - 1],[y - 2]])(lim) (x^3 y^3 + 2 x y^2 + y)
Calcular os limites seguintes:l) underset([[x - 1],[y - - 1]])(lim) (x^3 - x y^2)/(x + y)
Calcular os limites seguintes:f) underset([[x - 0],[y - 1]])(lim) (x^2 + 3 x y^2)/(x^2 + y^2)