Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo:

f → = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 k ^ e T a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Sendo T é a esfera, vamos parametrizar usando coordenadas esféricas. Assim

x = r cos ⁡ θ s e n ϕ

y = r   s e n   θ   s e n   ϕ

z = r cos ⁡ ϕ

Assim temos que nossos limites são r ∈ 0,2 , θ ∈ 0,2 π e ϕ ∈ [ 0 , π ] .

Passo 3

Sendo nosso f → = 2 , 2 , 2 . Assim temos que o nosso divergente será

∇ ⋅ f → = ∂ 2 ∂ x + ∂ 2 ∂ y + ∂ 2 ∂ z = 0

E assim, se tivéssemos visto isso desde o começo, veríamos que a integral de algo nulo, é algo nulo, ou seja

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados