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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 15

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.

∬ S f → ⋅ n → d S

Sendo f → = ( 2 x , 2 y , 0 ) e S a superfície do Exercício 13, exceto a face superior.

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Neste nosso problema, temos que consta o “mesmo” sólido que o exercício 13, com exceção do plano superior, que não existe. Sendo assim não podemos aplicar o teorema da divergência, ficando para gente calcular pela integral de superfície.

O interessante deste método pode ser resolvido fazendo

∬ S f → ⋅ n → d S =   ∬ S 1 f → ⋅ n → d S 1 + ∬ S 2 f → ⋅ n → d S 2 ∬ S 3 f → ⋅ n → d S 3 ∬ S 4 f → ⋅ n → d S 4 ∬ S 5 f → ⋅ n → d S 5

Onde cada integral se relaciona com uma interface.

Vamos fazer assim

A interface S 1 é o plano x = 0 com intervalos y ∈ 0,2 e z ∈ 0,3 e n → = - 1,0 , 0

A interface S 2 é o plano y = 0 com intervalos x ∈ 0,1 e z ∈ 0,3 e n → = 0 , - 1 , 0

A interface S 3 é o plano z = 0 com intervalos x ∈ 0,1 e y ∈ 0,2 e n ^ = 0,0 , - 1

A interface S 4 é o plano x = 1 com intervalos y ∈ 0,2 e z ∈ 0,3 e n → = 1 , 0,0

A interface S 5 é o plano y = 2 com intervalos x ∈ 0,1 e z ∈ 0,3 e n → = 0,1 , 0

Passo 3

Aqui vamos começar a ver os fatores integrante de casa integral.

f → 1 ⋅ n → 1 = 0,2 y , 0 ⋅ - 1,0 , 0 = 0

f → 2 ⋅ n → 2 = 2 x , 0 , 0 ⋅ 0 , - 1 , 0 = 0

f → 3 ⋅ n → 3 = 2 x , 2 y , 0 ⋅ 0 , 0 , - 1 = 0

f → 4 ⋅ n → 4 = 2 , 2 y , 0 ⋅ 1,0 , 0 = 2

f → 5 ⋅ n → 5 = 2 x , 4 , 0 ⋅ 0 , 1 , 0 = 4

Assim nossa integral fica

∬ S f → ⋅ n → d S = ∬ S 4 2 d S 4 + ∬ S 5 4 d S 5 = 2 S 4 + 4 S 5 = 2 2 ⋅ 3 + 4 1 ⋅ 3 = 24

Resposta

24

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Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: b )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,z ≥ x + y } e u → = - 2 x y i → + y 2 j → + 3 z k → .
Seja F → x , y , z = ( x + y + z 2 ) k → e seja σ a fronteira do cilindro x 2 + y 2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 3 .Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S onde n → é a normal que aponta para fora do cilindro.
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: c )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } e u → = x i → + y j → + z 2 k → .
Seja σ o gráfico de f ( x , y ) = x 2 + y 2 ,x 2 + y 2 ≤ 1 e seja n → a normal a σ com componente z ≤ 0 . Seja F → x , y , z = x 2 y i → - x y 2 j → + k → , calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S ,
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: B = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ xe0 ≤ z ≤ 4 } e u → = x y i → + y z j → + z 2 k → .