Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 21
Verificar o teorema de Stokes para
Onde é a superfície do paraboloide limitado por e é o seu contorno percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
O teorema de Stokes nos sugere que, dada uma superfície orientável, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes, , então
Onde é o vetor normal a superfície.
Passo 2
Vamos primeiro calcular o lado esquerdo da nossa equação. Em temos que a nossa curva é dada por
O que nos sugere uma parametrização no sentido anti-horário
Onde temos que
Assim temos a nossa integral como
Podemos transformando nosso seno e cosseno ao quadrado em
e
Ficando assim com
Passo 3
Agora vamos aplicar o teorema de Stokes e calcular nossa integral de superfície.
Primeiro vamos calcular o rotacional de
Para nossa superfície, vamos parametrizar nosso paraboloide usando as coordenadas polares
Ou seja
Como estamos limitados pelo plano , isso implica que
Assim temos que nossos limites são e .
Com a nossa parametrização temos que
E temos também que nosso rotacional se transforma em
Passo 4
Assim temos que
Assim nossa integral se resume em
Já podemos observar que a integral de seno irá se anular, visto que o intervalo é simétrico e seno é uma função ímpar.
Outra transformação é fazer
Assim nos sobra
Integrando em
E finalmente integrando em
Assim temos que o teorema vale
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)