Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.5 - Ex. 43
Quais as seguintes funções tem uma descontinuidade removível em ? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função que é igual a para e é contínua em
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Fala aí! Como vai?
Nesse problema temos algumas funções e nosso objetivo é determinar se as descontinuidades presentes nos pontos que foram dados podem ser removíveis.
Caso a função tenha a descontinuidade removível temos que obter uma função que seja igual a para .
Parece complicado?
Para cada um dos casos vamos tentar usar algumas manipulações algébricas de fatoração e simplificação para eliminar a descontinuidade e obter .
Uma dica importante: Uma descontinuidade removível é aquela que existe , porém não está definida em
Bora começar!
Passo 2
Para a letra , temos a função
Como temos uma fração de dois polinômios, podemos imaginar que fatorando o numerador vamos conseguir simplificar essa fração...
Por igualdade de polinômios, podemos dizer que
Substituindo na primeira equação, chegamos em
OBS: como , a partir da equação as duas raízes serão respectivamente e .
Dessa forma, temos que
Substituindo em
Simplificando
Nesse caso, a descontinuidade é removível pois podemos simplificar o denominador e .
Show?
Passo 3
Para a letra , temos:
Como temos um modulo dentro da função a melhor maneira é analisar os limites laterais de .
Se (pela direita) o conteúdo do modulo será positivo... então se o modulo de um número positivo é o próprio número, podemos dizer que
Agora se (pela esquerda) o conteúdo do modulo será negativo, logo, como está em módulo, podemos tirar o modulo e multiplicar por , ou seja,
Como os limites são diferentes em , não existe o limite, portanto a descontinuidade é não removível.
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Na letra , temos:
Novamente temos uma fração de dois polinômios, então vamos direto tentar fatorar o numerador para simplificar com o denominador e obter , assim como fizemos no passo 2.
Por igualdade de polinômios, temos
Substituindo na segunda equação...
Tirando a raiz cúbica de
Assim vemos que e .
Substituindo na função...
Simplificando , chegamos em
Está acompanhando?
Passo 5
Por fim, para a letra , temos:
Nessa função como o denominador tem o maior grau, vamos fatora-lo.
Nesse caso vamos usar a propriedade
Assim podemos reescrever
Substituindo em , podemos encontrar como
Simplificando ...
E fim!! O entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
Em resumo:
Para a letra
A descontinuidade é removível e
Para a letra
A descontinuidade não é removível, logo não temos
Para a letra
A descontinuidade é removível e
Para a letra d)
A descontinuidade é removível e