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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.5 - Ex. 43

Quais as seguintes funções f tem uma descontinuidade removível em a ? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função g que é igual a f para x ≠ a e é contínua em R

a) f x = x 2 - 2 x - 8 x + 2 , a = - 2

b) f x = x - 7 x - 7 ,   a = 7

c) f x = x 3 + 64 x + 4 , a = - 4

d) f x = 3 - x 9 - x ,   a = 9

Passo 1

Fala aí! Como vai?

Nesse problema temos algumas funções e nosso objetivo é determinar se as descontinuidades presentes nos pontos x = a que foram dados podem ser removíveis.

Caso a função tenha a descontinuidade removível temos que obter uma função g que seja igual a f para x ≠ a .

Parece complicado?

Para cada um dos casos vamos tentar usar algumas manipulações algébricas de fatoração e simplificação para eliminar a descontinuidade e obter g .

Uma dica importante: Uma descontinuidade removível é aquela que existe lim x → a ⁡ f ( x ) , porém f ( x ) não está definida em x = a .

Bora começar!

Passo 2

Para a letra a ) , temos a função

f x = x 2 - 2 x - 8 x + 2 ,     a = - 2

Como temos uma fração de dois polinômios, podemos imaginar que fatorando o numerador vamos conseguir simplificar essa fração...

x 2 - 2 x - 8 = x + a x + b = x 2 + a + b x + a b

Por igualdade de polinômios, podemos dizer que

a + b = - 2 a b = - 8 → b = - 8 a

Substituindo na primeira equação, chegamos em

a - 8 a = - 2 → a 2 + 2 a - 8 = 0

a = 2 b = - 4

OBS: como a b = - 8 , a partir da equação a 2 + 2 a - 8 = 0 as duas raízes serão respectivamente a e b .

Dessa forma, temos que

x 2 - 2 x - 8 = x + 2 x - 4

Substituindo em f

f x = x + 2 x - 4 x + 2

Simplificando x + 2

g x = x - 4

Nesse caso, a descontinuidade é removível pois podemos simplificar o denominador e g x = x - 4 .

Show?

Passo 3

Para a letra b ) , temos:

f x = x - 7 x - 7 ,     a = 7

Como temos um modulo dentro da função a melhor maneira é analisar os limites laterais de f x .

Se x → 7 + (pela direita) o conteúdo do modulo será positivo... então se o modulo de um número positivo é o próprio número, podemos dizer que x - 7 = x - 7

l i m x → 7 + x - 7 x - 7 = l i m x → 7 + x - 7 x - 7 = 1

Agora se x → 7 - (pela esquerda) o conteúdo do modulo será negativo, logo, como x - 7 está em módulo, podemos tirar o modulo e multiplicar por - 1 , ou seja, x - 7 = - x - 7

l i m x → 7 - x - 7 x - 7 = l i m x → 7 - x - 7 - x - 7 = - 1

Como os limites são diferentes em a = 7 , não existe o limite, portanto a descontinuidade é não removível.

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Na letra c , temos:

f x = x 3 + 64 x + 4 ,     a = - 4

Novamente temos uma fração de dois polinômios, então vamos direto tentar fatorar o numerador para simplificar com o denominador e obter g x , assim como fizemos no passo 2.

x 3 + 64 = x + a x 2 + b x + c

x 3 + 64 = x 3 + a + b x 2 + a b + c x + a c

Por igualdade de polinômios, temos

a + b = 0 a b + c = 0 a c = 64 → b = - a c = 64 a

Substituindo na segunda equação...

a - a + 64 a = 0 → - a 2 + 64 a = 0

a 2 = 64 a

a 3 = 64

Tirando a raiz cúbica de 64 …

a = 4

Assim vemos que b = - 4 e c = 16 .

x 3 + 64 = x + 4 x 2 - 4 x + 16

Substituindo na função...

f x = x 3 + 64 x + 4 → f x = x + 4 x 2 - 4 x + 16 x + 4

Simplificando x + 4 , chegamos em g x

g x = x 2 - 4 x + 16

Está acompanhando?

Passo 5

Por fim, para a letra d , temos:

f x = 3 - x 9 - x ,     a = 9

Nessa função como o denominador tem o maior grau, vamos fatora-lo.

Nesse caso vamos usar a propriedade a 2 + b 2 = a + b a - b

Assim podemos reescrever

9 - x = 3 - x 3 + x

Substituindo em f , podemos encontrar g x como

f x = 3 - x 9 - x → f x = 3 - x 3 - x 3 + x

Simplificando 3 - x ...

g ( x ) =   1 3 + x

E fim!! O entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

Em resumo:

Para a letra a )

A descontinuidade é removível e g ( x ) = x - 4

Para a letra b )

A descontinuidade não é removível, logo não temos g ( x )

Para a letra c )

A descontinuidade é removível e g ( x ) = x 2 - 4 x + 16

Para a letra d)

A descontinuidade é removível e g ( x ) = 1 3 + x

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