Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 7
7) Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de .
Passo 1
E aí! Tudo certinho?
Nesse problema queremos verificar a aproximação linear dada em e também, determinar os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de .
Parece complicado?
Para obter a linearização uma função , devemos utilizar a aproximação da função em :
Veja só!
Para verificar a aproximação linear dada em primeiro vamos encontrar a derivada da função em relação e então avaliá-la em
Em seguida, comparamos esse valor com a aproximação linear para verificar a precisão da aproximação.
Encontrando a derivada e avaliando em
A função dada é
A derivada de é dada por:
Avaliando em temos:
Comparando com a aproximação linear:
A aproximação linear dada é
Avaliando em obtemos:
Comparando com a aproximação linear vemos que a aproximação linear é razoavelmente próxima, indicando que é uma boa aproximação para próximo de
Passo 2
Para isso vamos derivar :
Então, em é:
Logo, a linearização está correta.
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para uma precisão de , o valor estimado, está numa faixa de do valor real, ou seja:
Logo:
E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!