Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 44
Suponha derivável no intervalo . Prove que se for estritamente crescente em , então em .
Passo 1
Lembre-se de que a derivada é dada pelo seguinte limite:
Então, vamos dividir em dois casos: quando e quando , beleza?
Lembrando que o caso não interessa quando calculamos esse limite, pois significa que estamos olhando apenas para as proximidades do ponto , e não para o próprio ponto.
Passo 2
Quando , teremos:
Como é estritamente crescente:
pois . Assim, quando tomamos o limite dessa expressão com , o resultado só pode ser maior ou igual a zero, pois pode acontecer de a expressão se aproximar cada vez mais de zero, mas com valores sempre maiores do que zero:
Passo 3
De modo análogo, analisamos o caso quando , onde teremos:
Como é estritamente crescente:
pois , o que troca o sinal da expressão. Logo,
Como analisamos para todos os casos possíveis, está provada a afirmação.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)