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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 8b

Verifique que.

(d)/(d x) [(x^3)/(3) arcsen x + (x^2 + 2)/(9) sqrt(1 - x^2)] = x^2 arcsen x

Passo 1

Vamos calcular (d)/(d x) [(x^3)/(3) arcsen x + (x^2 + 2)/(9) sqrt(1 - x^2)] , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função constante, do produto e do polinômio:

(ar c sen x)^' = (1)/(sqrt(1 - x^2))

(c)^' = 0

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos aplicar:

y^' = ((x^3)/(3) arcsen x + (x^2 + 2)/(9) sqrt(1 - x^2))^' = ((x^3)/(3) arcsen x)^' + ((x^2 + 2)/(9) sqrt(1 - x^2))^'

Vamos resolver a primeira derivada:

((x^3)/(3) arcsen x)^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = ((x^3)/(3))^' (arcsen x) + (arcsen x)^' ((x^3)/(3)) = (3 x^(3 - 1))/(3) (arcsen x) + (1)/(sqrt(1 - x^2)) ((x^3)/(3)) = x^2 arcsen x + (x^3)/(3 sqrt(1 - x^2))

Agora a segunda:

((x^2 + 2)/(9) sqrt(1 - x^2))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = ((x^2 + 2)/(9))^' (sqrt(1 - x^2)) + (sqrt(1 - x^2))^' ((x^2 + 2)/(9)) = ((2 x^(2 - 1) + 0)/(9)) (sqrt(1 - x^2)) + ((1)/(2) (1 - x^2)^((1)/(2) - 1) (1 - x^2)^') ((x^2 + 2)/(9)) = ((2 x)/(9)) (sqrt(1 - x^2)) + ((1)/(2) (1 - x^2)^(- (1)/(2)) (0 - 2 x^(2 - 1))) ((x^2 + 2)/(9)) = (2 x sqrt(1 - x^2))/(9) + ((1)/(2 sqrt(1 - x^2)) (- 2 x)) ((x^2 + 2)/(9)) = (2 x sqrt(1 - x^2))/(9) - (x (x^2 + 2))/(9 sqrt(1 - x^2)) = (2 x sqrt(1 - x^2) sqrt(1 - x^2) - x (x^2 + 2))/(9 sqrt(1 - x^2)) = (2 x (1 - x^2) - x^3 - 2 x)/(9 sqrt(1 - x^2)) = (2 x - 2 x^3 - x^3 - 2 x)/(9 sqrt(1 - x^2)) = - (3 x^3)/(9 sqrt(1 - x^2)) = - (x^3)/(3 sqrt(1 - x^2))

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((x^3)/(3) arcsen x)^' + ((x^2 + 2)/(9) sqrt(1 - x^2))^' = x^2 arcsen x + (x^3)/(3 sqrt(1 - x^2)) + (- (x^3)/(3 sqrt(1 - x^2))) = x^2 arcsen x

Assim:

(d)/(d x) [(x^3)/(3) arcsen x + (x^2 + 2)/(9) sqrt(1 - x^2)] = x^2 arcsen x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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