Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 3
Seja um natural. Prove que é contínua.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente provar que a função é contínua, tendo positivo.
Beleza galerinha, quando queremos provar a continuidade de uma função, temos algumas alternativas, e dentre elas a mais bandida de todas é pela definição. E como a gente é mau também, vamos provar por ela mesmo.
Nesse caso pela definição, dado um real. Precisamos provar que dado um , existe um intervalo que contém , , tal que para todo , .
Calma lá meu aprovado, cola aqui comigo que eu vou te explicar certinho. Precisamos então resolver essa inequação marivilinda aí, MAASSSS com toda sagacidade do mundo, vamos dividir em dois casos, pois podemos ter um expoente ímpar ou um expoente par, e isso pode interferir na nossa análise.
Vamos lá!
Passo 2
1º CASO: Se é ímpar
Sendo ímpar podemos explicitar nossa inequação como
E o legal que a gente dividiu o caso ímpar PORQUE repara ali no primeiro termo da inequação, se tivéssemos , teríamos um número negativo dentro da raiz, e se caso essa raiz fosse de um número par, isso seria impossível, dado que não existe raiz par de número negativo. Mas a condição de ser ímpar, garante a existência de raízes de números negativos e podemos tomar nosso conjunto aberto como:
Então dado que é ímpar, para todo temos que:
Logo, é contínua em todo real quando é ímpar.
Passo 3
2º CASO: Se é par
Agora no segundo caso, temos que levar em conta a limitação de raízes pares com número negativos. Inicialmente vamos analisar para . Para todo dado, temos
Isso quer dizer que podemos definir o intervalo, , onde . Logo é contínua em .
Suponhamos agora, . Para todo , com , temos então:
Logo, se o intervalo aberto é dado por
E se , o intervalo se torna
Dessa forma é contínua em todo .
Assim, é contínua em todo real, para qualquer natural positivo, seja ele par ou ímpar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉