Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 8
Seja dada por Mostre que é descontínua em todo real.
Passo 1
Só pra dar uma lembrada, é o conjunto dos números racionais, ou seja, de números que podem ser escritos como frações. Então bem, se pegarmos um número racional, temos:
Belezinha, agora que vimos isso, pra ser contínua, qualquer no intervalo:
Implica em
O que é o mesmo que dizer que estará no intervalo:
Isso tudo para qualquer valor que a gente tome!
Agora vamos aplicar! Para isso, vamos buscar valores arbitrários para e verificar se nossa afirmação é verdadeira.
Passo 2
Show de bola, agora que vimos isso tudo, vamos pensar num real qualquer. Por exemplo, . Como esse número é real e racional, vamos ter
Lembrando que .
Mas será que isso é verdade? Veja bem, imagine que , por exemplo. Aí o intervalo fica:
E vamos testar um número não racional agora, por exemplo , que está dentro desse intervalo. Nesse caso, vamos ter:
E logo:
Em outras palavras, vai estar dentro do intervalo:
Somente se , que significa que:
Não é uma verdade pra qualquer ! Logo a função não é contínua!
Resposta
Seja um número real, no intervalo existirão infinitos irracionais, de forma que nesses pontos teremos . Portanto, um não implica em um para qualquer