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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 62

Verifique se a conclusão do Teorema de Clairut é válida, isto é, u x y = u y x .

u = ln ⁡ ( x + 2 y )

Passo 1

Oiee, vamos resolver mais uma atividade.

Dada a função:

u = ln ⁡ ( x + 2 y )

A questão pede para você verificar se é possível inverter a ordem das derivadas mistas e termos o resultado:

u x y = u y x

Para isso, vamos calcular essas derivadas e compará-las!

O processo de derivação parcial de uma função é feito da seguinte forma, derivamos em relação a variável que queremos, e as outras variáveis serão consideradas constantes.

Deveremos também utilizar a regra da cadeia, por conta da composição de funções aqui. Temos a função ln ⁡ x e dentro dela temos a x + 2 y

Passo 2

A primeira derivada com relação a x é

u = ln ⁡ ( x + 2 y )

u x = ∂ ∂ g x ln ⁡ g x ⋅ ∂ ∂ x x + 2 y

u x = 1 x + 2 y ⋅ 1

u x = 1 x + 2 y = x + 2 y - 1

Com relação a y :

u = ln ⁡ ( x + 2 y )

u y = ∂ ∂ g y ln ⁡ g y ⋅ ∂ ∂ y x + 2 y

u y = 1 x + 2 y ⋅ 2 = 2   x + 2 y - 1

Como queremos as derivadas mistas, vamos derivar u x com relação a y :

u x = 1 x + 2 y

A gente utiliza de novo a regra da cadeia:

u x y = ∂ ∂ y g y - 1 ⋅ x + 2 y ∂ y

u x y = - x + 2 y - 2 ⋅ 2

u x y = - 2 x + 2 y 2

Derivando u y com relação a x :

u y = 1 x + 2 y ⋅ 2

u x y = 2 ∂ ∂ x g x - 1 ⋅ x + 2 y ∂ x

u y x = - 2 x + 2 y - 2 ⋅ 1

u y x = - 2 x + 2 y 2

Vemos que de fato

u x y = u y x

Vale o Teorema de Clairut!

Resposta

Sim

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Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem: w = u 2 + v 2