Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 53
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos dá uma função e pede para que calculemos todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Relembrando: Para calcular uma derivada parcial em uma variável, por exemplo, tratamos as demais como constante e derivamos normal.
A diferença nesse caso é que buscamos as derivadas de segunda ordem, ou seja, vamos precisar derivar duas vezes para cada caso! Exemplo: Para nós derivamos em duas vezes.
Passo 2
Nós temos a função
Para obter temos de obter primeiro e, em seguida, derivar novamente em relação a . Lembre-se: Estamos considerando como constante em ambas as derivações.
Dessa forma, encontrando temos
E derivando novamente em teremos
Passo 3
Para obter o processo é similar: Fixamos e derivamos duas vezes em .
Dessa forma, encontrando temos
E derivando novamente em teremos
Passo 4
Veja que a questão nos pede para encontrar TODAS as variáveis de segunda ordem, isto é, precisaremos encontrar também as derivadas “cruzadas” e .
O processo continua simples: Derivamos uma vez, mas quando derivarmos novamente trocamos de variável.
Para obter seguimos a ordem do índice: Encontramos para depois encontrar (imagine como se fosse um “”!)
Dessa forma, como já temos podemos encontrar
E de brinde, para poupar nosso trabalho, existe o Teorema de Clairaut!
Ele basicamente diz que: Se é uma função contínua então
Como sabemos que todo polinômio é contínuo então