Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 96
Se são os lados de um triângulo e são os ângulos opostos, determine , e pela derivação implícita da Lei dos Cossenos.
Passo 1
Fala ai galerinha. Tranquilo?
O objetivo desta questão é determinar as derivadas parciais do ângulo de um triângulo em relação aos seus lados , e . Isto é, queremos encontrar , e . Para resolver essa questão, utilizaremos a Lei dos Cossenos e aplicaremos a técnica de derivação implícita.
Vamos lembrar a Lei dos coessenos?
O que vamos fazer com essa equação? DERIVAR em relação a A, B e C.
Passo 2
Pela Lei dos Cossenos temos o seguinte, pessoal:
Claramente não temos uma função para , não é verdade? Sendo assim, uma estratégia muito interessante, assim como o enunciado propõe, é utilizarmos derivação implícita, que consiste em diferenciarmos ambas as taxas de variação da derivada. Por exemplo, se quisermos descobrir o que devemos fazer é derivar em função de , normalmente, mas também derivar implicitamente em função de e depois isolar essa derivada para obtermos o resultado. Vamos parar de falar um pouco e vamos logo pra esse cálculo!
Passo 3
A primeira derivada parcial que temos que determinar
Para
Resolvendo as derivadas
Isolando nossa derivada parcial, teremos:
Passo 4
Utilizando o mesmo raciocínio para a segunda derivada parcial em relação a , teremos:
Para
Resolvendo as derivadas
Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra do produto no termo , uma vez que nossa variável é e nossa variável implícita é , tudo bem? Sendo assim:
Vamos começar a isolar nossa derivada parcial
Isolando nossa derivada parcial, teremos:
Passo 5
Por fim, para a terceira derivada parcial, como é simétrico à no triângulo, então teremos: