Se a ,   b   e   c são os lados de um triângulo e A ,   B   e   C   são os ângulos opostos, determine ∂ A ∂ a , ∂ A ∂ b e ∂ A ∂ c pela derivação implícita da Lei dos Cossenos.

Passo 1

Fala ai galerinha. Tranquilo?

O objetivo desta questão é determinar as derivadas parciais do ângulo A de um triângulo em relação aos seus lados a , b e c . Isto é, queremos encontrar ∂ A ∂ a , ∂ A ∂ b e ∂ A ∂ c ​. Para resolver essa questão, utilizaremos a Lei dos Cossenos e aplicaremos a técnica de derivação implícita.

Vamos lembrar a Lei dos coessenos?

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c ∙ cos ⁡ A  

O que vamos fazer com essa equação? DERIVAR em relação a A, B e C.

Passo 2

Pela Lei dos Cossenos temos o seguinte, pessoal:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c . cos ⁡ A

Claramente não temos uma função para A , não é verdade? Sendo assim, uma estratégia muito interessante, assim como o enunciado propõe, é utilizarmos derivação implícita, que consiste em diferenciarmos ambas as taxas de variação da derivada. Por exemplo, se quisermos descobrir ∂ A ∂ c o que devemos fazer é derivar em função de c , normalmente, mas também derivar implicitamente em função de A e depois isolar essa derivada para obtermos o resultado. Vamos parar de falar um pouco e vamos logo pra esse cálculo!

Passo 3

A primeira derivada parcial que temos que determinar

Para ∂ A ∂ a

∂ ∂ a ( a 2 ) = ∂ ∂ a ( b 2 ) + ∂ ∂ a ( c 2 ) - ∂ ∂ a 2 b c . cos ⁡ A

Resolvendo as derivadas

2 a = 0 + 0 + 2 b c . s e n   A . ∂ A ∂ a

2 a = 2 b c . s e n   A . ∂ A ∂ a

Isolando nossa derivada parcial, teremos:

∂ A ∂ a = a b c . s e n   A

Passo 4

Utilizando o mesmo raciocínio para a segunda derivada parcial em relação a b , teremos:

Para ∂ A ∂ b

∂ ∂ b ( a 2 ) = ∂ ∂ b ( b 2 ) + ∂ ∂ b ( c 2 ) - ∂ ∂ b 2 b c . cos ⁡ A

Resolvendo as derivadas

0 = 2 b + 0 - 2 c cos ⁡ A - b . s e n   A . ∂ A ∂ b

Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra do produto no termo - 2 b c . cos ⁡ A , uma vez que nossa variável é b e nossa variável implícita é A , tudo bem? Sendo assim:

0 = 2 b - 2 c . cos ⁡ A + 2 b c . s e n   A . ∂ A ∂ b

Vamos começar a isolar nossa derivada parcial

2 c . cos ⁡ A - 2 b = 2 b c . s e n   A . ∂ A ∂ b

Isolando nossa derivada parcial, teremos:

∂ A ∂ b = c . cos ⁡ A - b b c . s e n   A

Passo 5

Por fim, para a terceira derivada parcial, como b é simétrico à c no triângulo, então teremos:

∂ A ∂ c = b . cos ⁡ A - c b c . s e n   A

Resposta

∂ A ∂ a = a b c . s e n   A

∂ A ∂ b = c . cos ⁡ A - b b c . s e n   A

∂ A ∂ c = b . cos �� A - c b c . s e n   A

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