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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 5g

Verifique se o conjunto abaixo é espaço vetorial real, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.

a ,   2 a ,   3 a ; a ∈ R

Passo 1

Pra começar, vamos listar os oito axiomas:

A 1 )   u + v + w = u + v + w

A 2 )   u + v = v + u

A 3 )   u + 0 = u

A 4 )   ∀ u ,   ∃ - u ,   u + - u = 0

M 1 )   a b u = a ( b u )

M 2 )   a + b u = a u + b u

M 3 )   a u + v = a u + a v

M 4 )   1 u = u

Dando uma olhada na definição do conjunto, não parece ter nada de muito absurdo não. Então vamos lá testar cada axioma!

Passo 2

Vamos tomar vetores u , v e w pra poder testar:

u = ( x ,   2 x ,   3 x )

v = y ,   2 y ,   3 y

w = ( z ,   2 z ,   3 z )

Eu não peguei nenhum vetor com a letra a do enunciado, mas é só pra te passar a idéia de que não precisa ser! O importante é manter o formato do vetor, sacou?

A 1 )

u + v + w = x , 2 x , 3 x + y , 2 y , 3 y + z , 2 z , 3 z

u + v + w = x + y + z ,   2 x + 2 y + 2 z ,   3 x + 3 y + 3 z

u + v + w = x + y + z ,   2 x + 2 y + 2 z ,   3 x + 3 y + 3 z

u + v + w = x , y , z + y + z ,   2 y + 2 z ,   3 y + 3 z

u + v + w = x , y , z + y , 2 y , 3 y + z , 2 z , 3 z

u + v + w = u + v + w

Funcionou!

A 2 )

u + v = x , 2 x , 3 x + y , 2 y , 3 y

u + v = x + y ,   2 x + 2 y ,   3 x + 3 y

u + v = y + x ,   2 y + 2 x ,   3 y + 3 x

u + v = y , 2 y , 3 y + x , 2 x , 3 x

u + v = v + u

Tudo tranquilo aqui também.

A 3 )

u + 0 = x , 2 x , 3 x + 0,0 , 0

u + 0 = x + 0 ,   2 x + 0 ,   3 x + 0

u + 0 = x , 2 x , 3 x

u + 0 = u

Show de bola, falta só mais uma de adição.

A 4 )

u + - u = x , 2 x , 3 x + - x , - 2 x , - 3 x

u + - u = x - x ,   2 x - 2 x ,   3 x - 3 x

u + - u = 0,0 , 0

u + - u = 0

Beleza, deu certinho! Agora bora pros axiomas de multiplicação!

Passo 3

Bora lá, vamos testar os quatro que faltam!

M 1 )

a b u = a b x , 2 x , 3 x

a b u = a b x ,   2 a b x ,   3 a b x

a b u = a b x ,   a 2 b x ,   a 3 b x

a b u = a b x ,   2 b x ,   3 b x

a b u = a b x ,   2 x ,   3 x

a b u = a ( b u )

Mais uma dando certo! Bora pra próxima.

M 2 )

a + b u = a + b x , 2 x , 3 x

a + b u = a + b x ,   a + b 2 x ,   a + b 3 x

a + b u = a x + b x ,   a 2 x + b 2 x ,   a 3 x + b 3 x

a + b u = a x ,   a 2 x ,   a 3 x + b x ,   b 2 x ,   b 3 x

a + b u = a x , 2 x , 3 x + b x , 2 x , 3 x

a + b u = a u + b u

Tá acabando!

M 3 )

a u + v = a x , 2 x , 3 x + y , 2 y , 3 y

a u + v = a x + y ,   2 x + 2 y ,   3 x + 3 y

a u + v = a x + a y ,   a 2 x + a 2 y ,   a 3 x + a 3 y

a u + v = a x ,   a 2 x ,   a 3 x + a y ,   a 2 y ,   a 3 y

a u + v = a x , 2 x , 3 x + a y , 2 y , 3 y

a u + v = a u + a v

Mais uma e acabou!

M 4 )

1 u = 1 x , 2 x , 3 x

1 u = x , 2 x , 3 x

1 u = u

Beleza, finalizamos. Todos os axiomas funcionam, então sim, o nosso conjunto é um espaço vetorial! Todos os vetores são múltiplos de ( 1 ,   2 ,   3 ) , certo? Então essa vai ser nossa base, e ela tem dimensão 1 .

Resposta

É um espaço vetorial, de base ( 1 ,   2 ,   3 ) e dimensão 1 .

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