Verifique, por derivação, que a formula está correta

∫ cos 3 ⁡ x d x = sen ⁡ x - 1 3 sen 3 ⁡ x + C

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos verificar, através da derivação, se a seguinte expressão está correta:

∫ cos 3 ⁡ x d x = sen ⁡ x - 1 3 sen 3 ⁡ x + C

Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!

Vamos só relembrar essas derivadas?

Agora sim, vamos resolver esse problema!

Passo 2

Seja f x = sen ⁡ x - 1 3 sen 3 ⁡ ( x ) + C , derivando, ficamos com

f ' x = cos ⁡ x - 1 3 ⋅ 3 sen 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x c o s ⁡ ( x )  

Isolando o cos ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x ⋅ 1 - sen 2 ⁡ x

Agora vamos aplicar a seguinte identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Isolando cos 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Agora vamos substituir na nossa derivada:

f ' x = cos ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ x

f ' x = cos 3 ⁡ ( x )

Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado!!

Não se esqueça que a derivada de uma constante é zero. 😉

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados