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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 19

19. int sqrt(x) (x + 1) d x

Passo 1

Olhando para integral observamos que existe um “ sqrt(x) " que multiplica uma subtração, nesse caso aplica-se uma distributiva de modo que a integral assuma uma forma mais fácil de ser trabalhada.

I = int sqrt(x) ( x + 1 ) d x

I = int ( x sqrt(x) + sqrt(x) ) d x

I = int ( x^((3)/(2)) + x^((1)/(2)) ) d x

Agora podemos aplicar os próximos passos.

Passo 2

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int (x^((3)/(2))) d x ] + [ int ( x^((1)/(2)) ) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 3

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 4

Agora que temos nossa integral preparada e sabemos o método para integrar uma função polinomial podemos desenvolve-la.

I = [ int (x^((3)/(2))) d x ] + [ int (x^((1)/(2))) d x ]

I = [((x)/((3)/(2) + 1)^((3)/(2) + 1))] + [((x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1))] + c

I = ((x)/((5)/(2))^((5)/(2))) + (x^((3)/(2)))/((3)/(2)) + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Chegamos então ao resultado final:

I = (2 x^((5)/(2)))/(5) + (2 x^((3)/(2)))/(3) + c

Prontinho, não é Cleyson!?

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Encontre a derivada usando a Fórmula (18) e verifique sua resposta calculando a integral e depois diferenciando.(a) d d x ∫ 1 x 3 1 t d t (b) d d x ∫ 1 ln ⁡ x e t d t
Simplifique a expressão e obtenha os valores de x com os quais sua simplificação seja válida. (c) l n ⁡ ( e - x 2 )
Use o exercício 24b e a ideia do exercício 27 para mostrar que d d x ∫ h x g x f ( t ) d t = f g x g ' x - f h x h ' ( x )
Seja F x = ∫ 2 x 3 t 2 + 1 d t . Encontre:(a) F ( 2 ) (b) F ' ( 2 ) (c) F ' ' ( 2 )
(a) Seja f x = e - 2 x . Encontre o valor exato mais simples de f ( ln ⁡ 3 ) .(b) Seja f x = e x + 3 e - x . Encontre o valor exato mais simples de f ( ln ⁡ 2 ) .