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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.4 - Ex. 4

Verifique, por derivação, que a formula está correta

∫ x a + b x d x = 2 3 b 2 b x - 2 a a + b x + C

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Nesse problema foi dada uma integral e seu resultado e nosso objetivo é determinar se o resultado da integral está correta.

Pra isso foi pedido para derivar o resultado da integral...

Sacou como fazemos isso? 👀

Pelo teorema fundamental do calculo, vemos que a derivada e a integral são operações opostas, ou seja, dada uma função f se aplicarmos a derivação e a integração vamos voltar exatamente em f novamente...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!

Seja f x = 2 3 b 2 b x - 2 a a + b x + C , derivando pela regra do produto, ficamos com

f ' x = 2 3 b 2 b ⋅ a + b x + b x - 2 a ⋅ 1 2 a + b x ⋅ b

f ' x = 2 3 b 2 2 b a + b x + b 2 x - 2 b a 2 a + b x

f ' x = 1 3 b 2 2 b a + 2 b 2 x + b 2 x - 2 b a a + b x

Simplificando...

f ' x = 1 3 b 2 ⋅ 3 b 2 x a + b x

f ' x = x a + b x

Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado.

Não se esqueça que a derivada de uma constante é zero.

E aí! O que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

∫ x a + b x d x = 2 3 b 2 b x - 2 a a + b x + C

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