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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 4

Verifique por diferenciação que a fórmula está correta.

∫ 1 x 2 x 2 + a 2 d x = - x 2 + a 2 a 2 x + C

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver a atividade.

Ele nos pede para verificar o seguinte:

∫ 1 x 2 x 2 + a 2 d x = - x 2 + a 2 a 2 x + C

A ideia vai ser derivar o lado direito e verificar se é igual a função que está dentro da integral no lado esquerdo. Então vamos lá!

Passo 2

Então,

F ' x = d d x - x 2 + a 2 a 2 x + C

Utilizando a regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Aplicando a regra:

= - 1 a 2 ∙ 1 2 x 2 + a 2 2 x x - x 2 + a 2 x 2

Realizando o produto:

= - x 2 x 2 + a 2 - x 2 + a 2 a 2 x 2

Realizando o mmc:

= - x 2 - x 2 - a 2 x 2 + a 2 a 2 x 2

= a 2 x 2 + a 2 a 2 x 2

Organizando a fração:

= 1 x 2 x 2 + a 2

= f ( x )

Está provado o que precisávamos!!!!

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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