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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 12

Verifique as Eqs. (6) e (7) nessa seção integrando diretamente.

Passo 1

Primeiro vamos relembrar as equações :

cos ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L =   1 2 c o s ( m - n ) π x L + c o s ( m + n ) π x L  

E também:

cos ⁡ m π x L s en ⁡ n π x L =   1 2 s e n ( n - m ) π x L + s e n ( m + n ) π x L

Passo 2

Vamos começar integrando a primeira função :

cos ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L =   1 2 c o s ( m - n ) π x L + c o s ( m + n ) π x L

Integrando no intervalo de - L < x < L :

∫ - L L cos ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x = 1 2 ∫ - L L c o s m - n π x L + c o s m + n π x L d x

= 1 2 L π sen ⁡ ( m - n ) π x L ( m - n ) + sen ⁡ ( m + n ) π x L ( m + n ) L L

= 0

Desde que ( m - n ) e ( m   +   n ) não sejam zero. Para o caso m   =   n :

∫ - L L cos ⁡ n π x L 2 d x = 1 2 ∫ - L L 1 + c o s 2 n π x L d x

= 1 2 x + sin ⁡ 2 n π x L 2 n π L - L L = L

Passo 3

Da mesma forma, vamos integrar a outra função:

cos ⁡ m π x L sen ⁡ n π x L =   1 2 s e n ( n - m ) π x L + s e n ( m + n ) π x L

Integrando, teremos:

Integrando no intervalo de - L < x < L :

∫ - L L cos ⁡ m π x L sen ⁡ n π x L = 1 2 ∫ - L L s e n ( n - m ) π x L + s e n ( m + n ) π x L d x

= 1 2 L π co s ⁡ ( n - m ) π x L ( m - n ) - cos ⁡ ( m + n ) π x L ( m + n ) - L L

= 0

Desde que ( m - n ) e ( m   +   n ) não sejam zero. Para o caso m   =   n :

∫ - L L ∫ - L L cos ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L = 1 2 ∫ - L L s e n 2 n π x L 2 n π L d x

= 1 2 co s ⁡ 2 n π x L 2 n π L - L L = L

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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