Nesse problema, vamos esquematizar a demonstração doTeorema 7.4.3no caso n=2 . Sejam x ( 1 ) e x ( 2 ) soluções da eq.(3)para αtβ , e seja W o wronskiano de x ( 1 ) e x ( 2 ) .Mostre que d W d t = d x 1 ( 1 ) d t d x 1 ( 2 ) d t x 2 ( 1 ) x 2 ( 2 ) + x 1 ( 1 ) x 1 ( 2 ) d x 2 ( 1 ) d t d x 2 ( 2 ) d t Usando aeq.(3), mostre que d W d t = ( p 11 + p 22 ) W Encontre W ( t ) resolvendo a equação diferencial obtida no item (b). Use essa expressão para obter a conclusão enunciada noTeorema 7.4.3.Demonstre oTeorema 7.4.3para um valor arbitrário dengeneralizando os procedimentos dos itens (a), (b) e (c).

Enunciado

Devemos ter em mente que o Wronskiano de uma matriz nada mais é do que o determinante dessa matriz:

Então, quando tivermos uma matriz do tipo:

A derivada desses dois produtos pode ser dada por:

(b) Vamos mostrar que:

Considerando que . Podemos escrever matricialmente como:

Aqui, podemos dizer que :

Da análise acima:

Nós queremos demonstrar que:

Onde :

Quando tivermos:

Quando queremos a derivada, dizemos que:

Somando tudo, teremos:

Isolando, ficamos com:

Isolando

Definimos inicialmente que é :

(c) Encontre resolvendo a equação diferencial, obtida na parte (b). Use esta expressão para obter a conclusão declarada no Teorema 7.4.3.

Nós temos:

Que dá:

Ei, a resposta está no passo a passo :)