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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 2

Nesse problema, vamos esquematizar a demonstração do Teorema 7.4.3 no caso  n   =   2 . Sejam  x ( 1 )  e x ( 2 )  soluções da eq.(3) para  α   <   t   <   β , e seja  W  o wronskiano de  x ( 1 )  e x ( 2 ) .

Mostre que

d W d t = d x 1 ( 1 ) d t d x 1 ( 2 ) d t x 2 ( 1 ) x 2 ( 2 ) + x 1 ( 1 ) x 1 ( 2 ) d x 2 ( 1 ) d t d x 2 ( 2 ) d t

Usando a eq.(3) , mostre que

d W d t = ( p 11 + p 22 ) W

Encontre  W ( t ) resolvendo a equação diferencial obtida no item (b). Use essa expressão para obter a conclusão enunciada no Teorema 7.4.3.

Demonstre o Teorema 7.4.3 para um valor arbitrário de n generalizando os procedimentos dos itens (a), (b) e (c).

Passo 1

Devemos ter em mente que o Wronskiano de uma matriz nada mais é do que o determinante dessa matriz:

W x 1 , … , x n = det ⁡ x

Então, quando tivermos uma matriz do tipo:

W = x 1 ( 1 ) x 1 ( 2 ) x 2 ( 1 ) x 2 ( 2 ) = x 1 ( 1 ) x 2 ( 2 ) - x 1 ( 2 ) x 2 ( 1 )

A derivada desses dois produtos pode ser dada por:

d W d t = x 2 ( 2 ) d x 1 ( 1 ) d t + x 1 ( 1 ) d x 2 ( 2 ) d t - x 1 2 d x 2 1 d t - x 2 ( 1 ) d x 1 ( 2 ) d t

Passo 2

(b) Vamos mostrar que:

d W d t = ( p 11 + p 22 ) W

Considerando que x ' = P x . Podemos escrever matricialmente como:

x 11 ' x 12 ' x 21 ' x 22 ' = p 11 p 12 p 21 p 22 x 11 x 12 x 21 x 22 = p 11 x 11 + p 12 x 21 p 11 x 12 + p 12 x 22 p 21 x 11 + p 22 x 21 p 21 x 12 + p 22 x 22

Aqui, podemos dizer que :

x ( 1 ) ' = ( p 11 + p 12 ) x ( 1 )

x ( 2 ) ' = ( p 21 + p 22 ) x ( 2 )

Da análise acima:

x 1 ( 1 ) ' = ( p 11 x 1 ( 1 ) + p 12 x 2 ( 1 ) )

x 1 ( 2 ) ' = ( p 11 x 1 ( 2 ) + p 12 x 2 ( 2 ) )

x 2 ( 1 ) ' = ( p 21 x 1 ( 1 ) + p 22 x 2 ( 1 ) )

x 2 ( 2 ) ' = ( p 21 x 1 ( 2 ) + p 22 x 2 ( 2 ) )

Nós queremos demonstrar que:

d W d t = ( p 11 + p 22 ) W

Onde :

W = x 1 1 x 2 2 - x 1 2 x 2 1

Quando tivermos:

W p 11 + p 22 = p 11 x 1 1 x 2 2 + p 11 x 1 2 x 2 1 - p 22 x 1 1 x 2 2 - p 22 x 1 2 x 2 1

Quando queremos a derivada, dizemos que:

d W d t = p 11 x 1 1 + p 12 x 2 1 p 11 x 1 2 + p 12 x 2 2 x 2 1 x 2 2 + x 1 1 x 1 2 p 21 x 1 1 + p 12 x 2 1 p 21 x 1 2 + p 22 x 2 2

Somando tudo, teremos:

d W d t = x 2 2 p 11 x 1 1 + p 12 x 2 1 - x 2 1 p 11 x 1 2 + p 12 x 2 2 + x 1 1 p 21 x 1 2 + p 22 x 2 2 - x 1 2 p 21 x 1 1 + p 12 x 2 1

Isolando, ficamos com:

d W d t = x 2 2 p 11 x 1 1 - x 2 1 p 11 x 1 2 + x 1 2 p 22 x 2 2 - x 1 2 p 22 x 2 1

Isolando p 11   e   p 22 :

d W d t = p 11 ( x 2 2 x 1 1 - x 2 1 x 1 2 ) + p 22 ( x 2 2 x 1 1 - x 2 1 x 1 2 )

Definimos inicialmente que W é x 2 2 x 1 1 - x 2 1 x 1 2 :

d W d t = ( p 11 + p 22 ) W

Passo 3

(c) Encontre W ( t ) resolvendo a equação diferencial, obtida na parte (b). Use esta expressão para obter a conclusão declarada no Teorema 7.4.3.

Nós temos:

d W d t = ( p 11 + p 22 ) W

Que dá:

W t = c   e x p ∫ { [ p 11 ( t ) + p 22 ( t ) ] d t }

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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