Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para

y = x y ' + y ' 2     é     y = c x + c 2

Determine um valor de k para que y = k x 2 seja uma solução singular para a equação diferencial.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, pra começar, vamos derivar y = c x + c 2 . Temos:

y ' = c

Substituindo isso na equação diferencial, temos:

y = x c + c 2

Que é exatamente a primeira equação, logo, vimos que é essa família é solução da equação!

Passo 2

Agora vejamos o caso de y = k x 2 . Temos que:

y ' = 2 k x

Substituindo isso na equação, vamos ter:

y = x y ' + y ' 2

k x 2 = x 2 k x + 2 k x 2

k x 2 = 2 k x 2 + 4 k 2 x 2

Simplificando...

k = 2 k + 4 k 2

Considerando k ≠ 0 :

1 = 2 + 4 k

k = - 1 4

E essa é uma solução particular para nossa equação!

Resposta

É solução.

k = - 1 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados